Re: gas degenere di fermi

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Thu, 27 Jan 2005 21:35:44 +0100

Valter Moretti ha scritto:
> ...
> Piu' di questo non posso dire senza andare sul tecnico e non saprei
> quanto formalismo della meccanica quantistica conosci. Inoltre la mia
> pausa dal lavoro, che mi sono preso perche'al momento non ho corsi da
> ternere e il mio collaboratore con cui faccio ricerca e' all'estero,
> finisce tra pochissimo.
Ah, ecco come mai eri ricomparso in forze :-)
Speriamo che il collaboratore si trattenga di piu' ;-)

Intanto (inter)vengo anch'io :-))

C'e' un punto della discussione che mi ha lasciato un po' stupito: mi
pare che nessuno abbia detto, almeno non esplicitamente, che non c'e'
niente di misterioso nel fatto che lo stato fondamentale di un sistema
di fermioni _abbia l'apparenza_ di un sistema degenere.

In realta' si tratta di due ambiti diversi: un nucleo, come del resto
un atomo, non e' un gas, nel senso che non e' un sistema
all'equilibrio statistico, se non nel senso banale che puo' essere
visto come se avesse temperatura T=0.
Bella scoperta che sta nello stato fondamentale, e quindi che e'
degenere!
Ma se nessuno lo dice per un atomo, perche' lo si dovrebbe dire per un
nucleo?

Credo pero' che l'origine della domanda sia un'altra: sta
nell'applicazione di un modello a particelle indipendenti.
Sapete (quasi) tutti benissimo che i modelli a particelle indipendenti
sono di larga applicazione:

1. Nei metalli, dove appunto si ragiona sul gas di elettroni come se
non interagissero tra loro, riducendo l'effetto degli ioni a un
potenziale medio globale.
In questo caso il gas e' fortemente degenere perche' l'energia di Fermi
e' >> kT.
Ricordo per il beneficio di e.manuel che il numero di occupazione medio
nella statistica di Fermi si scrive

n = 1/(exp(E-Ef)/kT + 1)

da cui si vede che se E=Ef si ha n = 1/2, mentre per E<<Ef n tende a
1 e per E>>Ef tende a 0.
L'intervallo di valori di E, attorno Ef, in cui n varia
apprezzabilmente, e' dell'ordine di kT.
L'affermazione che ho fatta: Ef>>kT va giustificata, ma non posso
scrivere un trattato :)

2. Negli atomi si puo' fare qualcosa del genere, sebbene l'interazione
tra gli elettroni sia tutt'altro che trascurabile.
La si riduce a un potenziale medio che si aggiunge a quello del
nucleo, e cosi' si ottiene il modello di Thomas-Fermi.

3. Anche nei nuclei si puo' fare la stessa cosa: si considerano i
nucleoni come particelle libere in una buca di potenziale, si
determinano i livelli di energia della buca, e li si riempiono man
mano, al crescere di A (o meglio, separatamente di N e di Z, visto
che il pr. di Pauli agisce solo tra protoni e tra neutroni).
Questo modello e' spesso detto anche "modello a shell", perche' da'
luogo a una struttura del nucleo a "gusci", simile a quella atomica.

Come vedi, e.manuel, la degenerazione c'entra molto per modo di dire:
si sta solo cercando com'e' fatto lo stato fondamentale di un insieme
di fermioni.
    

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Thu Jan 27 2005 - 21:35:44 CET