Ciao, sono d'accordo su tutto...Ma mi permetto un'osservazione
che puo' avere rilevanza fisica, (ovviamente Elio queste cose le
conosce meglio di me, l'osservazione e' per gli altri interessati).
Si puo' generalizzare un po' quello dice Elio.
Elio Fabri wrote:
>
> Torniamo alla geodetiche: se lo spazio-tempo e' statico, e se x^0 e'
> la coordinata temporale, il teorema di Noether ti dice che lungo ogni
> geodetica resta costante g_{0b} u^b.
ecc ecc
Perche' valga quello che e' stato correttamente dimostrato da Elio
e' sufficiente che lo spaziotempo sia solo _stazionario_ cioe' che,
localmente g_{ab} in coordinate opportune sia indipendente dalla coordinata
temporale x^0 (che deve essere di tipo tempo).
La richiesta di staticita' apparentemente usata da Elio e' piu' forte: richiede
anche che ci sia una ipersuperficie di tipo spazio ortogonale al campo di Killing,
cioe' in coordinate in cui mla metrica non dipende da x^0, che valga l'ipotesi
aggiuntiva g_{i0}=0 dove i=1,2,3.
Il fatto di usare spazitempo stazionari _ma non statici_ permette di
considerare situazioni fisicamente importanti sia per la "nonconservazione
dell'energia" sia per lo studio del red shift, in cui la sorgente del
campo gravitazionale "ruota" (metriche di Kerr) e in cui non esiste spazio di
quiete esteso ("osservatore rotante") e in cui non vale nemmeno
l'invarianza per inversione temporale...
Nel caso di metrica stazionaria ma non statica (p, e_0) e' comunque conservato
al variare del (di ogni) parametro affine lungo la geodetica, come conseguenza del
teorema di Noether (oppure dell'equazione di Killing rispetto al campo di Killing
e_0 e dell'equazione della geodetica).
Detto cio', ripetendo quanto ha detto Elio, definiamo l'energia nel riferimento
di quiete con e_0 (vettore tangente alla curva coordinata x^0)
come
E = (p,f_0)
Il riferimento e' individuato da una quaterna di _versori_ f_0,f_1,f_2,f_3
_ortonormalizzati rispetto alla metrica di Minkowski eta_{ab}_
con il vincolo che f_0 sia parallelo a e_0 (e diretto verso il futuro),
ossia:
f_0 = e_0/(g_{00})^{1/2}
*attenzione, in generale ora, a differenza del caso statico, i tre versori
spaziali f_1,f_2,f_3 che definiscono lo spazio di quiete del riferimento,
non potranno piu' essere scelti nel piano individuato da e_1,e_2,e_3*
come nel caso di spaziotempo statico.
In altre parole le superfici a tempo x^0 costante non appaiono
piu' "in quiete" con il riferimento di quiete con e_0.
Vale comunque immediatamente che:
E (g_{00})^{1/2} = (p,e_0)
che e' quindi conservato lungo la geodetica. Da cui segue quanto dice Elio.
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Department of Mathematics
University of Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Mon Jan 24 2005 - 14:10:46 CET