Il 20 Gen 2005, 10:04, Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com> ha
scritto:
> smargiassi_at_ts.infn.it wrote:
>
> > laplaciano di V = distribuzione di massa
> >
> > e si vede subito che se V e' a simmetria sferica - ovvero se dipende
> > solo dal modulo di r - anche il primo membro dipende solo dal modulo di
> > r, pertanto anche il secondo dipende solo da quello e pertanto la
> > distribuzione di massa e' a simmetria sferica.
> >
> > O mi sfugge qualcosa?
>
> No e' giusto... e' invece falso, in generale che
>
> sorgenti a simmetria sferica => campo a simmetria sferica.
>
> Perche' cio' sia vero bisogna anche fissare opportune condizioni
> al contorno. Ricordo che l'equazione di Poisson ammette una soluzione
> unica solo se sono anche assegnate condizioni al contorno di un certo tipo.
In complemento alla e-mail che ho indirizzato in risposta a Giorgio
la domanda che pongo e': due distinti insiemi di cariche puntiformi
interni ad una sfera di raggio R possono dare luogo al medesimo
potenziale V(r) fuori della sfera? Se la risposta a questa domanda
fosse no allora sarebbe vero che lo sviluppo in multipoli di un sistema
di cariche puntiformi individua univocamente l'entita' delle cariche e
la loro posizione.
Nel caso di cariche distribuite in modo liscio e' difficile e laborioso
dimostrare che questo e' falso, ma a conti fatti il problema si
riduce a considerare le distribuzioni di carica interne ad una sfera
di raggio R: con simmetria data rispetto alle rotazioni:
f_ln(r) Y_ln(theta, phi) e tali che la funzione f_ln(r)
verifichi l'identita' Int_(0,R) f_l(r) r^(l+2) dr =0. Si possono
costruire infiniti esempi di tali funzioni. Nel caso l=0 questa
caratterizzazione si riduce al semplice esempio di distribuzione sferica
non nulla ma globalmente neutra che non contribuisce ad alcun termine di
multipolo.
La differenza fra queste due situazione e' naturalmente il fatto che
mentre per cariche concentrate la funzione e' armonica ovunque eccetto
dei punti singolari, nell'altro caso, quando consideriamo una
distribuzione di cariche, la funzione non e' armonica in tutto un
dominio aperto: quello occupato dalle cariche. In queste regioni
per dire non e' verificato il teorema del massimo. Nella teoria delle
funzioni complesse l'analogo della prima condizione si chiama
meromorfismo.
Nella teoria delle funzioni complesse la conoscenza dei punti singolari
e lo sviluppo di Laurent individuano la funzione. Quello che vorrei
sapere e' se esiste una situazione analoga anche nel caso di quelle
funzioni che sono armoniche ovunque eccetto dei punti singolari e
sarei curioso di sapere se esistono, pure per questo caso, degli indici
integrali, per i termini di multipolo localizzati, analoghi agli
integrali di Cauchy della teoria delle funzioni complesse.
Voglio far notare che questo e' un problema differente da quello che
ho posto inizialmente, e' piu' generale e, su un punto, e' profondamente
differente da quello . Mentre infatti una distribuzione di cariche
concentrate da' luogo ad un potenziale localmente a quadrato sommabile,
questo non si verifica per momenti di multipolo concentrati di ordine
superiore. In questi casi infatti gli asintotici dei potenziali
conducono ad integrali del tipo 1/ r^(2l) che sono integrali divergenti.
Quello che si impara per questo caso e' che il singolo sviluppo di
multipolo non da' ora nessuna garanzia di essere una descrizione
adeguata nemmeno per il potenziale esterno alla sfera dove sono
concentrate le singolarita'.
Dal punto di vista della teoria del potenziale invece un
primo passo per rispondere alla domanda si riduce a rispondere
a questa domanda: possono esistere due differenti funzioni armoniche di
classe due volte differenziabile definite su un dominio chiuso e
connesso Om, le quali sono uguali sul dominio aperto Om' contenuto
in Om? Se la risposta e' no chiamerei questo teorema di estensione
delle funzioni armoniche.
Perche' se questo teorema esistesse sarei portato a pensare che
la congettura relativa alle cariche concentrate sia vera? Perche'
se lo sviluppo in multipoli individua il campo esternamente alla
sfera dove le cariche sono collocate e' anche vero che sarebbe
possibile estendere finche' possibile il potenziale in modo univoco.
Questo condurrebbe per successive approssimazioni ad un potenziale
definito ovunque eccetto in alcuni punti singolari. Ma ora il
laplaciano generalizzato individuerebbe univocamente le cariche ed i
multipoli.
Vero o falso?
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Received on Thu Jan 20 2005 - 20:00:33 CET