Re: GPS e relativita'

From: Tetis <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: Tue, 14 Dec 2004 19:22:25 GMT

                    Il 11 Dic 2004, 19:41, Pangloss <marco.kpro_at_tin.it> ha scritto:

> Ho anche qualche dubbio riguardante l'applicazione della RG.
> Ho provato a ricalcolare i dati teorici per satelliti a 20000Km di
> altezza; lo shift cinematico e' corretto, lo shift gravitazionale
> quadra considerando il potenziale ridotto ad 1/4 di quello terrestre.
> Ma i satelliti in moto libero non andrebbero considerati soggetti
> a potenziale nullo? Questo porterebbe a +60E-6 s al giorno lo shift
> gravitazionale. Sbaglio?

La variazione di energia:

[-GM/R + GM/(R+H)] * (h ni)/ c^2

si traduce in una variazione relativa di frequenza:

[-GM/R + GM/(R+H)]/c^2 dunque a quota maggiore frequenza minore

In S.I.

G = 6.7*10^(-11) N*m^2*kg^(-2)
M = 6 e 24 Kg
R = 6400 Km
H = 20200 Km
c = 2.97 e 8 (m/s)^2

5.4 e -10

Trovo +46.7 e (-6) s/day

La velocita' del satellite e' data da:

GM/(R+H) = v^2

e vale 3887.5 m/s

contro i 457.9 m/s a livello del suolo.

Per un valore di v/c pari a 13 e (-6)
ed un gamma pari a 1/sqrt( 1+ 1.71 e(-10))
Dunque la correzione relativa di origine
cinematica risulta in un termine di circa
-7 e (-6) s/day.

Usando la metrica di Schwarzshild e tenendo conto della
conservazione dell'energia e del momento angolare,
che sono definite come variabili canoniche coniugate
con le variabili di angolo zenitale e tempo, assumendo
per lagrangiana m^2 ds^2 ed un moto circolare sul piano
equatoriale, trovo:

phi' = L/mr^2
t' = E/[(mc^2)*(1-2GM/rc^2)]

Dove le derivate sono intese rispetto al tempo misurato
dal satellite. Mentre L ed E sono momento angolare ed
energia totale. Dalla terza equazione trovo, imponendo
r' = 0 l'equazione
di Keplero che risulta essere un'equazione relativisticamente
esatta. Adesso se voglio L ed E in termini di r e dunque finalmente
t' in termini di r occorre utilizzare un'ulteriore equazione: in effetti
mi accorgo che nell'imporre r'=0 ho scartato un'equazione che
e' essenzialmente la versione relativistica dell'equazione di Newton,
che pero' non mi riesce ancora di esprimere in forma semplice.
Cioe' quello che trovo e' che la densita' lagrangiana si annulla
su una geodetica circolare. Ovvero che

r phi' = sqrt(1 - 2GM/rc^2)

cioe' che r d phi/ dt = sqrt(1 - 2 GM/rc^2).
E non so come interpretare questa equazione.

 


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Received on Tue Dec 14 2004 - 20:22:25 CET

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