Re: E.M. Rogers "Physics for the inquiring mind"

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Sat, 24 Sep 2011 00:43:01 +0200

Elio Fabri ha pensato forte :
> Tetis ha scritto:
>> Ho visto che la sezione varie si � un poco arricchita dall'ultima
>> volta che l'avevo visitata, ho notato una nota in latex sul principio
>> di Fermat e la formulazione lagrangiana per geodetiche di tipo luce.

[cut]

> Ora troverai il file pfermat.pdf, che e' corretto, a parte errori
> fisici o matematici: se ci sono mi farai un piacere se me li farai
> notare :-)

Ho trovato, mi sembra essenzialmente corretto anche sul piano fisico
matematico, se vogliamo solo una pignoleria: dici giustamente che �
noto che lungo le geodetiche la lagrangiana si conserva e che in
particolare lungo le geodetiche di tipo luce la lagrangiana � nulla.

La prima circostanza, che la lagrangiana � conservata, dipende
essenzialmente dal fatto che la trasformata di Legendre della
lagrangiana in questione � conservata perch� indipendente da t e
coincide, una volta riespressi i momenti in termini delle derivate
delle coordinate, con la lagrangiana stessa a meno di un fattore di
omogeneit� (che vale due).

Per me stesso avrei speso una parola sul fatto che le geodetiche di
tipo luce esistono :-) Si tratta di un'ovviet� in effetti che si basa
sulla teoria delle equazioni differenziali, che risultano del primo
ordine e quindi determinate dalle condizioni iniziali t', x',y',z' ma
queste possono sempre essere scelte in modo da verificare la condizione
L=0 per il valore iniziale del parametro, e siccome L � conservata
lungo le soluzioni devono essere nulle anche per tutti gli altri punti
della soluzione.

Un'altra perplessit� riguarda in effetti la scelta della lagrangiana,
questa perplessit� dipende dal fatto che in geometria riemanniana il
principio geodetico � dato dalla radice quadrata dell'elemento di
lunghezza, e quella � anche la lagrangiana.

Si pu� poi dimostrare che il quadrato dell'elemento di lunghezza ha le
medesime traiettorie, ma ha meno soluzioni, infatti scegliendo il
quadrato si impone automaticamente la parametrizzazione affine. Il
parametro di integrazione che nel caso dell'elemento di lunghezza �
arbitrario, nel caso della nuova scelta non pu� essere scelto
arbitrariamente perch� la nuova lagrangiana non � invariante per
parametrizzazione.

Sceglierla comporta dei vantaggi ma implica anche un'arbitrio. Un
vantaggio � come visto che la nuova lagrangiana � una costante del moto
per le nuove equazioni, mentre la lagrangiana originale non lo �.
L'arbitro consiste nel fatto che mentre l'azione della lagrangiana
originale ha un'interpretazione fisica naturale, che � la lunghezza (e
la scelta delle unit� di misura implica solo di cambiare le unit� dei
coefficienti della metrica), l'azione della nuova lagrangiana �
solamente un multiplo arbitrario dell'elemento di lunghezza ma questa
arbitrariet� � ulteriore, non dipende cio� dall'arbitrariet� delle
unit� di misura.

Naturalmente la validit� del principio di Fermat pu� essere ottenuta
anche utilizzando la densit� lagrangiana L dk = (ds^2)^(1/2) che �
definita sulla superficie di Riemann della radice quadrata, ma devo
ammettere che usando L^2 � pi� semplice.

A livello classico la differenza non si nota, ma a livello quantistico
questa impostazione rende pi� naturale il collegamento fra la
lagrangiana ed i propagatori quantistici con il metodo degli integrali
di cammino, e di spiegare naturalmente il carattere evanescente delle
soluzioni esterne al cono luce (Opera permettendo :-) ).

Received on Sat Sep 24 2011 - 00:43:01 CEST