Il 14 Dic 2004, 11:13, Valec <"valecdarkness[NOSPAM]"_at_[SPAMNO] yahoo
[NOSPAM].it> ha scritto:
> salve a tutti, mi servirebbe una mano per trovare una dimostrazione
> importantissima per l'orale di MQ.
> Partendo dall'eq.ne di Schrodinger per le autofunzioni dell'energia,
> come si dimostra che per gli stati legati lo spettro dell'hamiltoniano �
> discreto, mentre per gli stati liberi � continuo.
Il metodo diretto di verifica consiste nel controllare se esiste un
dominio denso nelle funzioni a quadrato sommabile sul quale
l'hamiltoniano e' simmetrico, questo non basta, occorre poi
controllare se si puo' costruire una unica estensione autoaggiunta,
il che dipende dalle proprieta' di regolarita' di H. Ora gli operatori
hamiltoniani sono generalmente composti di un termine cinetico
e di una parte moltiplicativa hamiltoniana. Per avere una base
densa in L^2 su cui l'operatore e' hamiltoniano basta in genere
considerare le funzioni a decrescenza rapida. Su questa varieta' lineare
i termini cinetici che agiscono come derivate possono essere portate da un
lato all'altro del prodotto scalare dando sostanza all'osservazione che H
e' simmetrico. Il termine moltiplicativo in V non altera infatti la
convergenza del
prodotto scalare e puo' agire moltiplicativamente a destra come a sinistra.
Il passo seguente e' controllare se l'estensione e' essenzialmente
autoaggiunta,
in questo caso siamo fortunati, cosi' e'. Per dimostrarlo si puo' ricorrere
al
criterio di Nelson. Una volta controllato che H e' essenzialmente
autoaggiunto,
cioe' ammette una sola estensione autoaggiunta occorre ricorrere al teorema
spettrale. Lo spettro di un operatore autoaggiunto ha una parte discreta ed
una
parte continua. La parte discreta risulta per definizione associata con
autovettori
propri. Cioe' stati legati per l'hamiltoniana. La parte continua risulta
necessaria
per rappresentare uno stato qualsiasi. Puoi trovare maggiori dettagli e
precisazioni
sul Reed Simon e qui in rete sulle dispense on-line di Moretti (le dispense
sono
rivolte a studenti di dottorato e sono un poco tecniche).
Per controllare che A e' autoaggiunto basta verificare che e' chiuso.
Questo in molti casi si verifica direttamente e questa verifica si estende
per ipotesi abbastanza generali su V. La verifica dell'autoaggiunzione
dovrebbe bastare per poi appoggiarsi ai teoremi di Reed e Simon, e
suppongo sia essenzialmente il tipo di verifica alla portata del
Gasiorowics.
Per ulteriori dettagli mi permetto di suggerirti di inviare un'e-mail a
Valter Moretti, che se non mi maledira' perche' troppo impegnato
sara' ben lieto di suggerirti un percorso adeguatamente semplice.
> Ho saputo che la dimostrazione dovrebbe essere sul Gasiorowics (che
> puntualmente manca dalla biblioteca della Sapienza), mentre sul Landau
> (vol3)e sul Sakurai si accenna solo ad una spiegazione qualitativa.
>
> Qualcuno i pu� dare una mano? l'ideale sarebbe una scansione del
> gasiorowics, ma non vorrei chiedere troppo... ;)
A questo proposito non posso aiutarti.
> Grazie mille!
>
> Valec
>
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Received on Wed Dec 15 2004 - 13:56:18 CET