Re: Analisi dimensionale equazione di campo di Einstein

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Mon, 11 Mar 2013 17:42:44 +0100

Luigi ha scritto:
> ecco era questo che volevo che mi si aiutasse a capire, io ho provato
> a fare da solo ma mi sono confuso..........
> R*mi*V - 1/2g*mi*v*R+LAMBDA*g*mi*v = [(8*pigreco*G)/c^4]*T*mi*v
> pi greco = è un numero puro
> G = m^3/kg*s^2
> R = curvatura scalare (come è espressa o è un numero puro?)
> g = (acc. di gravità?)
> miv = m/s(? )
>
> T LAMBDA c = m/s

Pangloss ha scritto:
> Ti stai cimentando con una formula troppo avanzata per le tue
> conoscenze:
In effetti...
Temo inoltre che l'OP non conosca neppure l'alfabeto greco :-<
Mi ha ricordato quando, oltre 20 anni fa, tenni il corso di Fisica I
(per fisici).
Avevo già sperimentato, a esami magari del terzo anno, che capitavano
studenti che confondevano psi con csi ecc., e che si giustificavano
dicendo "sa, io ho fatto lo scientifico".
Così negli appunti aggiunsi un'appendice con l'alfabeto greco e
relativi nomi.
Mica ci vuole il classico per imparare 24 lettere minuscole e
altrettante maiuscole...

> non ti sei neppure reso conto che si tratta di una relazione tra
> tensori di rango due (dotati di due indici)! Semmai avresti dovuto
> scrivere:
>
> R_{mn} - 1/2*g_{mn}*R + lambda*g_{mn} = (8*pi*G/c^4)*T_{mn}
E scambia g per l'accelerzione di gravità :-)

> Probabilmente la risposta di Fabri precedera' la mia e suppongo che
> sara' piuttosto divertita ;-).
Come vedi, hai sbagliato due volte:
- non ti ho preceduto
- nonostante tutto risponderò in modo serio.

> Non scoraggiarti, "nessuno nasce imparato": se continuerai a studiare
> fisica un giorno capirai anche tu il significato di tale formulaccia.
Fai bene a non scoraggiarlo, però mi sembri parecchio ottimista.
Credi che *tutti* i laureati in fisica capiscano il significato di
quella "formulaccia", come la chiami tu?

Comunque la domanda mi ha dato un po' da pensare, e mi sono reso conto
che non ho mai trovato una discussione dimensionale, che del resto non
è affatto banale.
Perciò ho deciso di affrontarla, a beneficio non dell'OP, che non ci
capirà la classica mazza, ma di altri che potrebbero forse trovarla
interessante.

Per cominciare, bisogna decidere che sistema di unità si vuole
adottare. Infatti quell'equazione si trova scritta in diversi modi:
1) nel sistem CGS opure SI, che da un punto di vista dimensionale, per
questa equazione, non differiscono, visto che intervengono solo
lunghezze, tempi e masse
2) in un sistema (comune in relatività) in cui le unità di lunghezza e
tempo sono vincolate in modo che sia c=1; pertanto lunghezze e tempi
hanno la stessa dimensione
3) nel sistema di unità dette "geometriche" in "Gravitation", in cui
anche G=1, per cui anche le masse hanno la dimensione di una lunghezza.

Il terzo sistema è sicuramente il più comodo per la RG una volta che
ci si sia fatta l'abitudine; ma è il meno conosciuto e perciò lo
lascio da parte.
I sistemi 1) e 2) non differiscono in modo essenziale per il nostro
discorso, e visto che la formula scritta dall'OP adotta 1), mi atterrò
a quello.

La principale difficoltà per l'analisi dimensionale dell'eq. di
Einstein sta invece nella completa arbitrarietà delle coordinate, che
possono essere definite come più torna comodo per il singolo problema,
per cui non si può assumere che abbiano dimensioni fissate.

Questo a differenza della fisica newtoniana, e anche della RR, dove il
tempo è il tempo e le coordinate spaziali sono di regola coord.
cartesiane, quindi lunghezze.
Ma non è sempre vero, perché capita spesso di usare coord. polari,
dove una delle tre coord. spaziali rimane una lunghezza, ma le altre
due sono angoli, quindi adimensionali, numeri puri.
(Sì lo so che per te adimensionale e numero puro sono cose diverse, ma
non mi hai convinto :-) )

Comunque in RG bisogna lasciarsi un'assoluta libertà, e quindi bisogna
tener libere nell'analisi dimensionale le dimensioni di tutte e 4 le
coordinate, che potranno benissimo essere diverse tra loro.
Dette x^0, x^1, x^2, x^3 le coordinate, indicherò con D^i (i=0,1,2,3)
le rispettive dimensioni. Ciascuno dei D^i va pensato come un monomio
nei simboli M,L,T, con esponenti interi (positivi o negativi).
Non occorrerà mai specificare i D^i.

Nota: va tenuto presente che dimensioni e unità sono cose diverse,
anche se la distinzione ha scarso peso in questa discussione.

Il secondo passo rigurarda la definizione del tensore metrico:
ds^2 = g_{ik} dx^i dx^k.
Assumerò che ds^2 abbia dimensione L^2; segue allora per g_{ik} la
dimensione
L^2 D_i D_k
dove D_i con l'indice in basso va letto come il monomio inverso di D^i.
Avrei potuto scegliere per ds^2 la dimensione T^2, che ha qualche
vantaggio; chi legge potrà facilmente vedere da sé come cambi tutto
ciò che segue: molto poco.

Adesso non c'è che da seguire passo passo le definizioni delle grandezze
che entrano nell'eq. di Einstein; definizioni che suppongo note.

1. Coeff. di connessione.
G^i_{kl} è definito in un modo complicato, ma dal punto di vista
dimensionale si riduce a questo:
G^i_{kl} = g^{im} g_{kl,m}.

Con g^{im} intendo la forma controvariante del tensore metrico, che
coincide con l'inversa della matrice g_{im}; pertanto la sua
dimensione è
L^{-2} D^i D^m.
Invece g_{kl,m} è la derivata di g_{kl} rispetto alla coordinata x^m e
quindi ha dimensione
L^2 D_k D_l D_m.
Pertanto la dimensione di G^i_{kl} è D^i D_k D_l.

2. Tensore di Riemann.
Di nuovo, la definizione è complicata ma dal punto di vista
dimensionale basta scrivere
R^i_{klm} = G^i_{kl,m}
e ne segue la dimensione D^i D_k D_l D_m.

3. Tensore di Ricci R_{km}.
Qui la definizione è semplice:
R_{km} = R^i_{kim} (contrazione sul primo e terzo indice).
Quindi la dimensione: D_k D_m.

4. Scalare R di Ricci.
R = g^{km} R_{km} da cui la dimensione L^{-2}.

5. Costante cosmologica.
Dato che nell'eq. compare moltiplicata per il tensore metrico, come
accade anche a R, si vede che anche Lam ha dimensione L^{-2}.

6. Primo membro dell'equazione.
Se scrivo

R_{km} - (R/2)g_{km} + Lam g_{km} = (8pi*G/c^4) T_{km}

è facile verificare che tutti i termini a primo membro hanno
dimensione D_k D_m.

7. Secondo membro.
Il coeff. di T_{km} ha la dimensione di G/c^4, ossia L^3 T^{-2} M^{-1},
moltiplicato per T^4 L^{-4} ossia L^{-1} T^2 M^{-1}.
Perciò se l'eq. è dimensionalmente corretta, la dimensione di T_{km}
sarà quella del primo membro, D_k D_m, moltiplicata per L M T^{-2}
(che, guarda caso, è la dimensione di una forza).
Bisogna verificare questo, il che richiede un'accurata discussione del
significato del tensore energia-impulso.

8. Verifica.
8.1.Partiamo da un'osservazione (che costituisce l'anello di
collegamento fra RR e RG): anche quando lo spazio-tempo è curvo, è
sempre possibile scegliere coordinate tali che *in un punto* dello
spazio-tempo il tensore metrico assuma la forma della RR, ossia
diag(1,-1,-1,-1).
Fisicamente ciò significa che *in una piccola regione dello
spazio-tempo vale la RR*.
Indicherò con y^k queste coordinate.

8.2. Se si usano (in RR) coordinate lorentziane (quelle appunto in cui
il tensore metrico ha la forma detta sopra, il che significa che le
y^k hanno le dim. di una lunghezza) tutte le componenti del tensore
energia-impulso hanno la dimensione di una /densità di energia/:
M L^{-1} T^{-2}.

8.3. La legge di trasf. delle componenti di un tensore da un sistema
di coord. a un altro si scrive in generale

T^{km} = T'^{ln} _at_x^k/_at_y^l @x^m/_at_y^n (*)

dove T è il tensore nelle coord. x, T' quello nelle coord. y.
In termini di dimensioni la (*) diventa

T^{km} = M L^{-1} T^{-2} D^k/L D^m/L = M L^{-3} T^{-2} D^k D^m.

8.4. Passando alle componenti covarianti:


T_{km} = g_{kl} g_{mn} T^{ln} L^2 D_k D_l L^2 D_m D_n M L^{-3} T^{-2} D^l D^n M L^{-1} T^{-2} D_k D_m

(ricordo che D_l è l'inverso di D^l).

La verifica è così conclusa.
                                                           
                   
--
Elio Fabri
Received on Mon Mar 11 2013 - 17:42:44 CET