Re: vettori e cambiamenti di base: quesito.

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 29 Nov 2004 20:36:07 +0100

Bruno Cocciaro ha scritto:
> d'accordo Elio ma la proprieta' di quell'ente fisico che ne fa un
> vettore non e' proprio il trasformarsi, nel passare da un riferimento
> ad un altro (o anche nel cambiare coordinate rimanendo nello stesso
> riferimento), secondo le leggi di trasformazione delle coordinate?

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      Dobbiamo ora tornare alla fisica, per rispondere a una domanda: a
che servono i vettori? Abbiamo gia' visto che possiamo usare un
vettore per individuare un punto nello spazio, ed e' percio'
abbastanza evidente che i vettori riescono utili per descrivere il
moto dei corpi (lo vedremo in dettaglio nel cap. seguente). Infatti
non e' difficile dimostrare che velocita', accelerazione, q. do moto
sono vettori; la cosa riesce pero' meno evidente per altre grandezze,
come ad es. le forze.

      Nelle presentazioni elementari si usa dire che una grandezza ha
carattere vettoriale quando per determinarla occorre assegnarne
_intensita'_, _direzione_ e _verso_. Sebbene questo sia accettabile
come approccio intuitivo, non soddisferebbe un matematico; e anche dal
punto di vista fisico lascia a desiderare, per due ragioni:
- non e' detto che sia sempre facile definire intensita', direzione e
verso di una grandezza vettoriale
- viceversa, si possono dare esempi di grandezze non vettoriali, per
le quali si potrebbe assegnare in modo naturale tutte e tre queste
caratteristiche: il piu' chiaro e' quello delle rotazioni, su cui
pero' non possiamo ora soffermarci.

      In effetti la propreita' piu' importante dei vettori e' la
possibilita' di _sommarli_: dunque perche' una grandezza sia un
vettore e' necessario che si possa parlare di somma. Vediamo il caso
delle forze.

      Definire la somma di due forze e' facile: date due forze F1 e F2,
applicate _allo stesso punto_ di un dato corpo, la loro somma e'
quella forza che applicata sempre nello stesso punto produce lo stesso
effetto dell'applicazione congiunta di F1 e F2. Per effetto intendiamo
tanto il moto che quelle forze possono produrre, quanto eventuali
deformazioni di un corpo vincolato.

Nota: E' necessario che le forze siano applicate allo stesso punto.
Infatti potremmo avere due forze opposte, applicate agli estremi di
una molla: sebbene la somma delle forze sia zero, l'effetto delle due
forze non e' nullo, perche' la molla si allunga. Ancora: se due forze
opposte ma non sulla stessa retta agiscono su di un corpo, questo
ruotera', e di nuovo non potremo sostituirle con una forza nulla, ecc.

      E' un _fatto sperimentale_ che una tale forza esiste sempre, e
che si ottiene da F1, F2 con la regola del parallelogramma: il che
dimostra che la somma di forze ha le proprieta' richieste alla somma
vettoriale. Ormai siamo talmente abituati a cio' (l'abbiamo sentito
dire fin da bambini) che non ci rendiamo piu' conto che si tratta di
una verita' di fatto, ossia che potrebbe anche essere diversamente. Ma
non e' stato cosi' per i fondatori della meccanica: il problema della
composizione delle forze ha dato da pensare - da un punto di vista
logico - ancora in questo secolo.

      La piu' forte verifica sperimentale del carattere vettoriale
delle forze sta nella meccanica celeste. Per descrivere il moto di un
pianeta e' necessario tener conto delle attrazioni gravitazionali del
Sole e di tutti gli altri pianeti. Queste forze vengono _sommate
vettorialmente_ nella seconda legge della dinamica, per determinare
l'accelerazione del pianeta: i risultati dei calcoli concordano con le
osservazioni, che sono di grande precisione (almeno 10^{-8}).

      Veniamo a un altro punto: le equazioni della fisica connettono
fra loro grandezze _dello stesso tipo_: ades. F=ma e' una relazione
fra vettori, il primo principio della termodinamica e' una relazione
fra scalari, ecc. (Ci sono anche oggetti piu' complicati, ma in questo
corso non avremo occasione d'incontrarli.) Non accade mai che a primo
membro di un'equazione ci sia un vettore, e a secondo membro uno
scalare, o altre cose del genere. Puo' sembrare che questa sia una
banalita', piu' o meno come "non si possono sommare le mele con le
galline", ma non e' cosi': c'e' sotto una questione profonda, sulla
quale pero' non e' il caso di fermarsi, almeno per ora.
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Questa era la parte finale del cap. 4 dei miei "Appunti di fisica
generale" (1992).
Visto che ce l'avevo gia' scritto, ho fatto prima a copiarlo, che a
scrivere di nuovo le stesse cose...
  

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Mon Nov 29 2004 - 20:36:07 CET