Re: oscillatore armonico 3D: degenerazione?

From: Tetis <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: Mon, 22 Nov 2004 17:12:35 GMT

                    Il 03 Nov 2004, 10:01, gianmarco100_at_inwind.it (Tetis) ha scritto:
> Il 03 Nov 2004, 00:51, "Laura Facchetti" <laurafacchetti_at_tiscali.it> ha
> scritto:
> > Consideriamo un oscillatore armonico tridimensionale di Hamiltoniana:
> >
> > H = (1/2m)*[ (P_x)^(2) + (P_y)^2 + (P_z)^2 ]
> > + (m/2)*[ ((w_x)^2)*(x^2) + ((w_y)^2)*(y^2) + ((w_z)^2)*(z^2) ]
> >
> > Ho determinato che, nel caso in cui le tre frequenze w_x , w_y e
> > w_z siano uguali fra loro, il grado di degenerazione (g) dei primi tre
> > livelli eccitati risulta essere nell'ordine: 3 6 10 cio� g � la somma
> > dei primi n+1 interi (dove n � il primo numero quantico).
> >
> > Ho per� il dubbio di cosa accada nel caso in cui le frequenze angolari
> > w_x , w_y e w_z siano fra loro incommensurabili.
> > Come devo procedere?
>
> Dipende da come definisci la condizione di commensurabiltita' fra k
numeri.
> Io, appoggiandomi allo standard corrente, la definisco cosi': esistono
> k interi a_1, ... a_k in modo che a_1* w_1+...+a_k*w_k=0 (*).
> Se sono incommensurabili puoi concludere che non esistono due combinazioni
> lineari delle frequenze che si uguaglino. Quello che puo' generare
> confusione e' che la
> condizione di incommensurabilita' fra k interi non e' garantita
> dall'incommensurabilita'
> fra le coppie. Per esempio dai numeri sqrt(2) ed 1-sqrt(2) ed 1 estrai
solo
> coppie
> incommensurabili. Mentre la combinazione 1,1,-1 vale zero. Allora in
questo
> caso
> potresti avere qualche difficolta' nel contare le frequenze. Generalmente
> parlando
> nel caso anisotropo il conteggio di degenerazione dipende unicamente dalla
> risoluzione dell'equazione (*) questo puo' portare la discussione a
livelli
> veramente
> alti di difficolta'.

Non mi ero accorto di un fatto. Se tre frequenze sono a
coppie incommensurabili e per� risultano commensurabili
nel complesso allora la degenerazione di tutti i livelli
superiori ad una soglia � due. Se infatti avessimo un modo
con degenerazione maggiore di due allora otterremo due
combinazioni non nulle e seguirebbe la commensurabilit�
di ogni coppia. Mi sembrava importante osservare questo
fatto. In generale con k frequenze di base degenerazione
maggiore o uguale a k implica commensurabilit� a coppie.

> > ----------------------------------------------------------------
> > Solo due cose sono infinite:
> > l'universo e la stupidit� umana
> > e non sono sicuro della prima!
> > A. Einstein
> >
>
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> Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
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Received on Mon Nov 22 2004 - 18:12:35 CET

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