Tetis ebbe a scrivere:
> Il peso risulta semplicemente
> la funzione coefficiente del parametro del problema di
> Sturm-Liouville. In questo caso il parametro e' la frequenza
> propria. Mi chiedo se c'e' un modo di rendere intuibile che il peso
> del prodotto scalare deve essere proprio il coefficiente del
> parametro.
Basta pensare alle matrici simmetriche.
Perche' le matrici simmetriche (auto-aggiunte) producono una base di
autovettori ortogonali? Perche' (y,Ax)=(Ay,x). Infatti, se x ed y
sono autovettori con autovalori diversi a(x) e a(y), avresti:
a(x)*(x,y)=a(y)*(x,y)
da cui ne consegue l'ortogonalita' degli autovettori: (x,y)=0.
Nel nostro caso abbiamo il problema Av=a*Rv, dove A ed R sono due
matrici, con A auto-aggiunta rispetto al normale prodotto (x,y).
Detto <x|y>=(x,Ry) il prodotto scalare con matrice associata R, se x
ed y sono due autovettori si puo' scrivere:
(y,Ax)=a(x)<y|x>
(x,Ay)=a(y)<x|y>
Essendo A auto-aggiunto, i due secondi membri devono coincidere, da
cui <x|y>=0.
Michele
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Received on Wed Nov 17 2004 - 21:25:08 CET