Re: Un tappo di sughero

From: Tetis <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: Thu, 11 Nov 2004 18:21:19 GMT

                    Il 10 Nov 2004, 17:41, gianmarco100_at_inwind.it (Tetis) ha scritto:

> Sembra un altro problema, ma in assenza di massa nel
> centro i due problemi sono identici. E quello che trovi e'
> che per la corda libera le frequenze sono tutte multiple
> di una frequenza fondamentale. Quando aggiungi la massa
> la condizione di bordo la scrivo:
>
> tan(k_i l/2) = k_i /[M/mu k_i^2 - K/T]
>
> mi sembra differisca di un fattore due dalla condizione di
> compatibilita' che trovi tu. Perche'?

Eccolo: perche' la tensione e' applicata da ambo
i rami della stringa. Ne segue che la relazione corretta
e': tan(k_i l/2) = 2k_i /[M/mu k_i^2 - K/T]. Mentre tu
trovavi: cotan(ki*l/2)=(M/mu)*(ki/2)-(K/T)*(1/(2*ki))
sono uguali no?

> Ad ogni modo se ora calcolo il prodotto scalare trovo:
> [2k' sen(kl/2) cos(k'l/2)- 2k cos(kl/2) sen(kl/2)]/(k^2-k'^2)
> Dunque considero k' cos(k'l/2) tenendo conto della condizione
> di compatibilita'. Risulta uguale a [M/mu k'^2-K/T] sen(k'l/2)
> E lo stesso per k cos(kl/2) da cui infine:
> -2*K/T sen(kl/2) sen(k'l/2) che sarebbe null'altro che -2*K/T f(0) g(0).

Riscritto su un foglio di carta anche questo ed ecco:

-M/mu sen(kl/2) sen(k'l/2)

Allora il prodotto scalare che fa al nostro scopo e':

Int(-l/2,l/2) f(x)g(x) dx + M/mu f(0)g(0).

e la costante di normalizzazione risulta:

A(k_i) = 1/sqrt {l/2 + [(M/mu) + (K/T)(1/k^2)] sen^2(kl/2)}

Ti risulta o non ti risulta che e' quello che diceva Fabri?
Adesso considera la funzione sin[pi/l (|x|-l/2)] e calcola
i prodotti scalari con le funzioni della base. Ne risultano
i numeri

[cos(k_i l/2) + M/mu sen(k_i l/2)]*A(k_i)

ricordando ancora che:

tan(k_i l/2) = 2k_i /[M/mu k_i^2 - K/T]

Trovi un'espressione per i coefficienti che puoi
scrivere in termini di k_i e di J_i=R_i^2 dove R_i
e' il rapporto fra la frequenza propria dell'oscillatore
associato con la massa centrale in condizioni libere e
la sua frequenza propria associata con il modo k_i,
ovvero R_i^2 = (Mu/T)/(om_i)^2 espressamente:

{1+2/[k_i*(1-J_i)]} / sqrt( l/(2cos^2(kl/2) + 2(1+J_i)/[k_i*(1-J_i)])

Il cui comportamento asintotico per alti numeri d'onda e'
cos(k l/2) * sqrt(2/l) questo dimostra che per condizioni
iniziali regolari della forma della stringa i contributi di frequenza
elevata sono dominanti e di tipo distribuzionale. Distribuzionale
perche' questa serie di coefficienti non e' a quadrato sommabile.


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Received on Thu Nov 11 2004 - 19:21:19 CET

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