Re: SOS

From: Davide Campagnari <k.doenitz_at_email.it>
Date: 30 Oct 2004 10:05:46 -0700

> Ho due osservabili A e B che commutano (ipotesi del teorema).
> Mi prendo un autovalore a di A e e suppongo che ha un grado di degenerazione
> g=5.
> Questo significa che esiste una base formata da 5 autovettori di A che
> chiamo u1,u2,..,u5.
> L'autospazio relativo, V, ha dimensione 5
E fin qui tutti d'accordo.

> So che comunque prendo un vettore nel'autospazio V questo � sempre
> autovettore
> di A.(questa cosa la usiamo dopo)
Benissimo.
 
> Allora supponiamo che trovo un solo autovalore di B con grado di
> degenerazione 5.
> [I suoi atovettori] y1, y2,..y5 [...] generano uno spazio che � lo stesso di V
> (quello legato ad a di A) Allora anche gli autovettori u1,...u5 sono
> autovettori di B.
Certo, e questo e' il famoso caso mooolto particolare.
 
> Questo punto corrisponde a quel (che dicevo nel precedente post) caso
> particolare che capita solo
> se il grado di degenerazione di b coincideva con quello di a. E dunque non
> pu� essere
> superiore, ma solo inferiore. Perch� al pi� posso avere una sola radice
> contata 5 volte.
Si', _in quell'autospazio di A_. Provo a spiegarmi, in effetti
rileggendo i miei post mi sono accorto di non essere stato chiaro...
Supponiamo di essere nel famoso "caso felice", ovvero abbiamo
l'autovalore a di A con i suoi 5 autovettori ed il suo autospazio di
dimensione 5. Diagonalizziamo B e troviamo 5 radici coincidenti "b":
questo significa (l'hai illustrato benissimo) che qualsiasi vettore
dell'autospazio di a e' anche vettore dell'autospazio di b. Ma per me
non significa necessariamente che gli autospazi coincidano. E'
possibile che, se tu rifai il discorso con un altro autovalore di A,
diciamo a', e diagonalizzi B all'interno di V(a'), trovi di nuovo _lo
stesso_ b come autovalore di B. Ecco quello che intendevo quando
dicevo che la dimensione di V(b) puo' essere maggiore di V(a).
E se non sbaglio, e' quello che ti ha scritto Gianmarco Bramanti:
> Infatti un autovalore di B puo' in generale avere
> autovettori esterni a V(g),

Davide Campagnari
Received on Sat Oct 30 2004 - 19:05:46 CEST