Re: Raggio di bohr

From: Tetis <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: Mon, 1 Nov 2004 18:08:18 +0000 (UTC)

Antonella Capuano" <antonella_capuano_at_yahoo.it> wrote in message
news:1a3a099235be89afe932b3dc66d25bc1_14561_at_mygate.mailgate.org

> Ho letto un post in cui si parlava del raggio di Bohr e di come lo si
> ricavava, e la soluzione era :
>
> r = (h^2)/ (m * e^2)* n^2
>
> r = raggio
> h = costante di Plank 6,626 * 10 (-34)
> e = carica dell`elettrone 8,199 * 10 (-14)
> m = massa dell`elettrone 9,11 * 10 (-31)
> n = numero quantico (a cui ho assegnato il valore 1 )
>
> per curiosita`ho provato a fare il calcolo, ma non mi viene quel
> 53 che mi aspettavo dovesse venire. Probabilmente sbaglio a fare i conti
> oppure i valori che ho scritto sopra sono sbagliati.C`e`qualcuno di
> buona volonta`che mi possa far vedere il calcolo in tutti i vari
> passaggi ?
> Grazie

Ah ci diresti di che post si tratta?
La formula che hai espresso e' corretta nell'ipotesi in
cui l'energia potenziale di un elettrone intorno ad un
protone sia esprimibile come - e^2/r come e' il caso del
sistema cgs (centrimetri, grammi, secondi). Usando il sistema
MKSA ovvero metri, kili, secondi, ampere, la carica elettrica
diventa un'unita' derivata dall'ampere, la formula corretta
per il potenziale diventa -k e^2/r. Con l'ulteriore correzione
sul valore di h che e' h/2pi = 1.055*10^(-34) J*s in seguito
scrivero' h intendendo questo valore che convenzionalmente
si indica con h tagliato, pero' siccome manca la tabellina
per h.

In tal caso la carica dell'elettrone va espressa in Coulomb
e vale 1,602*10^(-19) Coulomb. E la costante di forza k vale
10^(-7)*c^2 ovvero circa 9*10^9. La formula da utilizzare
diventa:

r = (h^2)/ (m * k* e^2)* n^2

se qui sostituisci i numeri trovi il risultato corretto.


Se calcolo sqrt(k)e trovo 1.52*10^(-14). Che equivale
ad assumere come unita' di carica quella che da una forza
di un Newton fra due cariche alla distanza di un metro.
Faccio l'ipotesi che la grandezza che hai utilizzato sia
stata presa da qualche quaderno di appunti il cui
estensore avesse fatto confusione nella derivazione
della costante k al momento di sostituire i valori della
velocita' della luce. In effetti si troverebbe un valore
di carica prossimo a quello che hai scritto se la costante
k fosse piu' grande di un fattore 29.

Puo' essere utile adesso ripercorrere tutti i passaggi:
si scrive l'equazione agli autovalori:

[-h^2/2m D - k e^2/r]f=Ef
 
dunque si riformula:

(D + 2m/h^2[E+ke^2/r])f = 0

si scelgono ora le nuove unita' di
lunghezza, energia, massa che rendono
l'equazione adimensionale e della
forma:

(D + 2*[E+1/r])f = 0

Esprimiamo la massa m come m'[M], l'energia E come E'[E]
il laplaciano che abbiamo indicato con D vale D'/[L]^2
Infine r va in r'[L]. Se ridefiniamo la massa abbiamo
m [M]. L'equazione agli autovalori prende ora la forma:

D'/[L^2] + 2m'[M]/h^2[E'[E]+ke^2/r'[L]]

se moltiplichiamo per [L^2] ed imponiamo la forma
cercata troviamo:

[E][M][L]^2 * (m'/h^2) = 1

[M][L] (m'/h^2)(k e^2) = 1

Dunque abbiamo una liberta' di scelta perche' sono
tre incognite in due equazioni. Scegliamo l'unita'
di massa pari alla massa dell'elettrone. Otteniamo
allora m' = 1 ed [M] = m da cui:

[L] = h^2/mke^2 che e' il raggio di Bohr: 5.29*10^(-11)m

[E] = m (ke^2)^2/h^2 che e' la nuova scala per
l'energia: 4.36 * 10^(-18) J. Da confrontare con
l'elettronvolt che e' 1.602 * 10^(-19) e vale:
27.21 eV.

Una nuova unita' di tempo si ottiene dalla nuova unita'
di energia imponendo [E][T] = 2pi h ovvero uguagliando
l'azione corrispondente alle unita' di energia e tempo
al quanto fondamentale d'azione e vale
1.52*10^(-16) s 152 as. Risulta anche importante l'unita'
di tempo ciclico [T_c] = h/[E] che vale 2.42 * 10^(-17) s.
Infatti risulta che [L]/[T_c] e' pari a 2pi [L]/[T]
ovvero la velocita' di percorrenza del quanto
di azione supposto periodico su una circonferenza di
raggio [L]. Questa velocita' e' 2.18 * 10^6 m/s.
Circa un centesimo della velocita' della luce.

Infine puo' essere utile ricordare come calcolare il
k della forza di Coulomb. Si procede dalla definizione
di Ampere. L'ampere e' l'unita' di corrente che da luogo
ad una forza per unita' di lunghezza di 2*10^(-7) N/m
quando scorre in due fili posti a distanza di un metro.

Il Coulomb e' la quantita' di carica trasportata da
una corrente di un Ampere nell'unita' di tempo.
La forza per unita' di lunghezza e' espressa dalla
legge di Ampere come 2 k_a I I'/r dove I ed I' sono le
correnti mentre r e' la distanza fra i fili e k_a e'
la costante di forza di Ampere. Risulta che
k = k_a * c^2.

Da cui k = 10^(-7)*c^2.

A questo risultato si arriva ragionando
sulla legge di Lorentz. Infatti un Coulomb che scorre
nell'unita' di tempo [T] con velocita' v e' contenuto in
una lunghezza v [T] dove v e' la velocita'
delle cariche. Dunque la carica I[T] distribuita sulla
lunghezza v [T] risente della forza di Lorentz associata
con il campo magnetico generato dall'altro filo. Questo
campo magnetico e' 2* k I'/c*r in accordo con la trasformazione
di Lorentz del campo elettrico generato dalle cariche nel riferimento
di riposo. Il fattore due dipende dal confronto fra l'elemento
di superfice unitaria della sfera che e' 4pi e l'elemento
di lunghezza unitaria per la simmetria cilindrica che vale 2pi.
Dunque la forza di Lorentz per l'unita' di lunghezza vale
2*I[T]/v[T] * k I'/c*r * v/c. Ovvero 2 I*I' k /c^2 r.
   
Io personalmente per evitare tutti questi passaggi ricordo
il numero particolarmente grandioso di 9*10^9 Newton e lo
correggo quando mi occorre il valore esatto sostituendo
9 con (2,997)^2. Mi ha sempre dato un'idea della grandiosita'
delle forze elettromagnetiche. Una quantita' di elettroni che
scorre in un secondo in un filo per generare un ampere, se
posta alla distanza di un chilometro dalla medesima quantita'
di corrente genera una forza di quasi una tonnellata. E' quindi
difficile accumulare cariche. Giusto per confronto: la forza
di attrazione gravitazionale fra le stesse quantita' di
carica per elettroni a distanza di un chilometro vale circa
2*10^(-39) N. Se pure si sostituiscono queste quantita' con
protoni e posti alla distanza di un metro non si superano
gli 8*10^(-27)N. Tieni presente che un Coulomb di carica
corrisponde a poco piu' di un decimillesimo di mole, inoltre
una mole di elettroni pesa 1/2000 di grammo, quindi bastano
5*10^(-9) grammi di elettroni ad un metro di distanza per sviluppare
quella forza di 9*10^9 N.



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Received on Mon Nov 01 2004 - 19:08:18 CET

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