Pero' in rapporto ad una domanda di qualche giorno fa in cui si
chiedeva quali invarianti si hanno per una lagrangiana invariante
rispetto al gruppo di Poincare' mi si e' posto questo problema:
se SU(2) e' il vero gruppo delle rotazioni qual'e' il vero gruppo di
simmetria per la meccanica quantistica relativistica? Ho provato
a rispondere in termini di algebra di Dirac e di SL(2,C)/Z^2, ma
allora quello che mi sembra naturale e' dire che il vero gruppo
delle rotazioni sia SU(2)/Z^2. Oppure dire che il vero gruppo della
relativita' e' SL(2,C). Come esco da questo nodo? Non e' una domanda
finto ingenua. E' una domanda difficile, si intrecciano vari livelli. E
rispondere e' necessario come e' necessario ragionare con le particelle
relativistiche dotate di spin.
Il 20 Ott 2004, 17:36, Michelangelo <michelangelo79_at_NOSPAMlibero.it> ha
scritto:
> Salve ragazzi!
>
> Mi sto buttando nella teoria dei campi.. e mi sorge gia' qualche domanda!
> Se una lagrangiana e' simmetrica rispetto al gruppo di Poincar�, vi
> saranno 10 correnti di Nether collegate a 10 cariche di Nether che si
> conservano, dato che il gruppo di Poincer� e' un gruppo a 10 parametri.
>
> E fin qui ok
>
> Una trasformazione di Poincar� comprende due termini: una trasformazione
> di Lorenz e una translazione; i 10 parametri si suddividono in 6 per la
> trasformazione di L e 4 per la translazione.
>
> Ok ancora tutto ok
>
> Le 4 cariche di Nether provenienti dai 4 parametri della parte
> translazionale sono le 3 componenti dell'impulso e l'energia che appunto
> si conseravano.
>
> OK!
>
> Riguardo alla trasformazione di L. invece possiamo pensarla come composta
> da una rotazione + un boost di Lorenz. Cosi' dei 6 parametri ne avremo tre
> per la rotazione che portano alla conservazione delle componenti del
> momento angolare totale e 3 per i boost.
>
> Ora le domande sono:
>
> 1) prima di tutto, ci sono errori in quanto detto fino ora?
> 2) se non ve ne sono, a che quali quantita' conservate portano le tre
> cariche di Nether relative ai boost?
Il momento angolare e' :
x^i P^j - x^j P^i + S^ij = J^ij
e commuta con i generatori infinitesimi delle rotazioni: M^ij
c'e' una grandezza simile:
t P^i - E R^i + S^0i = J^0i che commuta con i generatori infinitesime dei
boost: M^0i
**********************************************************************************************************
Il momento angolare di un sistema classico puo' dipendere dal
riferimento giacche' i generatori dei boosts non commutano
con le componenti del momento angolare. Analogamente
questa grandezza non si conserva per rotazioni, e si trasforma
invece come un vettore. Ho scritto in piu' le componenti di spin.
Si puo' dimostrare infatti che questa forma e' la rappresentazione
piu' generale delle cariche.
Un effetto del fatto che lo spin non commuta con il generatore
dei boost e viceversa si ha nella precessione di spin. Uno spin
in un campo elettrico sente una differenza dovuta al proprio moto
che non e' dovuta semplicemente ad un fattore di contrazione
temporale, questo si puo' spiegare in tre passi il primo passo e'
standard: il campo elettrico per effetto di un boost genera una
componente elettrica.
Ora c'e' da osservare che lo spin per effetto del boost longitudinale
subisce una variazione e nello scrivere queste trasformazioni
per estensione delle regole di commutazione derivate nel caso
del momento angolare. Il secondo passo e' quindi considerare
il boost longitudinale. Il terzo passo che e' il meno standard
consiste nell'osservare che durante il moto la direzione
del moto dell'elettrone cambia. Questo coinvolge di fatto una struttura
della trasformazione infinitesima che richiede l'uso del momento angolare
insieme con i boost longitudinali. Questo conduce a formulare le corrette
equazioni del moto per lo spin in un campo magnetico . Questo fu fatto da
Thomas con un certo impegno di calcolo.
Un modo un poco meno dispendioso
consiste nel riconoscere lo spin come componente di un quadrivettore
assiale, nello riscrivere le equazioni del moto non relativistiche tenendo
conto di questa informazione in modo covariante. Questo modo e' illustrato
in tutti i dettagli da Jackson. Il punto piu' difficile sta nel riconoscere
lo spin
come componente di un quadrivettore, che normalmente conterrebbe
anche il momento angolare. Questo quadrivettore e' suggerito tuttavia
da una tecnica molto generale nello studio delle algebre di Lie che va
sotto il nome di "ricerca degli operatori di Casimir". Nel nostro caso non
dobbiamo stare a fare tutta questa fatica perche' Pauli dopo avere
dimostrato nel suo lavoro che il tensore totalmente antisimmetrico
e' un invariante, lo utilizza per costruire un vettore
W^m = 1/2 e^(m,n,r,s) P_n J_rs dove J_rs e' il tensore antisimmetrico
con le sei cariche associate all'invarianza di lorentz e P_n e' il
quadrivettore con le quattro cariche associate alle traslazioni.
Questo quadrivettore e' sempre nullo ad eccezione che nel caso delle
particelle dotate di spin. Come puoi riconoscere dal fatto che nella parte
costruita dal prodotto di vettori compare un prodotto antisimmetrico
P^m P^n.
A me sembra che a questo punto comunque sia lo spin debba essere
postulato. Esiste, dunque W e' non nullo. Non mi sembra invece immediato
che siccome W esiste allora esiste lo spin. A meno di non cambiare
interpretazione. W esiste allora ne troviamo delle rappresentazioni
per le quali W^mW_m e' non nullo. Dunque le interpretiamo.
Ora se consideriamo l'azione del gruppo di Poincare' su queste W
troviamo di certo che le traslazioni non hanno effetto, quindi le
traslazioni
sono rappresentate dall'identita', invece le rotazioni hanno effetto
immagino
sulla parte spaziale, infine i boost avranno l'effetto delle rotazioni di
Wick.
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Received on Wed Nov 03 2004 - 01:29:17 CET