Re: Teoria dei gruppi: rappresentazioni?

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Wed, 20 Oct 2004 21:47:29 +0200

Maxxx ha scritto:
> A lezione mi hanno dato la seguente definizione di rappresentazione:
> "...rappresentazione di un gruppo G su uno spazio vettoriale V � una
> MAPPA che associa ad ogni elemento di un gruppo un operatore lineare
> invertibile in V, ossia un elemento dell'insieme degli automorfismi di
> V..."
Definizione quanto meno incompleta.
Rappr. di un gruppo G sullo sp. vettoriale V e' un *omomorfismo* da G
a un sottogruppo degli automorfismi di V.

> ...
> Ora, una rappresentazione delle rotazioni in R^3 sono le matrici o i
> vettori?
> Nel senso, mi sembrava di aver capito che la rappresentazione di un
> gruppo rende concreta la sua "attivit�" quindi mi veniva logico
> pensare alle matrici stesse come una rappresentazione, per�, essendo
> la rotazione un concetto assolutamente generale, mi verrebbe da dire
> che � la mia scelta di parlare di "rotazioni di vettori" a fissare
> automaticamente la scelta di tutti gli operatori possibili...spostando
> cos� la mia attenzioni sui vettori pi� che sulle matrici.
Il gruppo di cui stiamo parlando (usualmente indicato dai fisici con
SO(3)) e' il gruppo delle matrici 3x3 ortogonali a determinante 1.

Se ne vuoi definire una rappresentazione, devi prima di tutto
scegliere lo spazio V.
Se prendi V=R^3, la rappr. piu' ovvia e' quella "identica", in cui
ogni matrice viene rappresentata da se stessa.
Caso non molto interessante, come vedi :)

Puoi anche decidere di mandare qualunque matrice nella matrice
identita': questa e' una rappresentazione banale, che esiste per
qualsiasi gruppo su qualsiasi spazio, ma non e' necessariamente una
cosa tanto stupida, anche se ora non posso mostrarti perche'.

Nota anche che essendo una rappr. un omomorfismo, essa avra' in genere
un _nucleo_ (gli elementi del gruppo mappati nell'identita').
Per il teorema dell'omomorfismo tra gruppi, il nucleo e' un s.g.
invariante (o normale) di G.
Nel caso di SO(3) le cose sono semplici, perche' i soli s.g.
invarianti che ha sono l'intero G e {I}.
Nel primo caso tutto G va nell'identita', nel secondo solo l'elemento
neutro di G va nell'identita', ossia la mappa e' iniettiva.

Vuoi un altro esempio? Eccone uno semplice ma non banale.
Prendi il grupoo delle permutazioni di tre oggetti (gruppo simmetrico
S_3).
Prendi V di dimensione 3, e sia (e_1,e_2,e_3) una sua base.
Definisci l'automorfismo che mappa una permutazione, mediante la
stessa permutazione dei vettori base, estendendolo per linearita' a
tutti gli elementi di V.

Ti propongo un esercizio: sapresti trovare un sottospazio invariante
di questa rappresentazione?
Intendo un sottospazio di V che venga applicato in se stesso da tutti
i 6 automorfismi che costituiscono la rappr. di S_3?
(R.: ce ne sono due...)
                     

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Wed Oct 20 2004 - 21:47:29 CEST