lux ebbe a scrivere:
> Mi aspettavo un'obiezione del genere, ma non a caso ho scritto:"se
> vogliamo dirla in un altro modo"; infatti non puoi negare che F sia
> una soluzione a simmetria iperbolica dell'equazione di Klein-Gordon
> a massa nulla, cosi' come 1/r e' una soluzione a simmetria sferica
> dell'equazione di Laplace.
Ah ho capito: hai proceduto come quando si cerca il quadripotenziale
A(x) generato da una carica puntiforme, quando si rappresenta la
densita' di carica come una delta. La soluzione (che e' un potenziale
ritardato) e' effettivamente del tipo 1/r, ma ci vuole la condizione
addizionale sulla propagazione del segnale t=r/c. Comunque, 1/r non
e' lo stesso che 1/(r^2-t^2) ...
Feynman giustamente dice che il propagatore <x,t|x0,t0> dipende solo
da dx=x-x0 e e dt=t-t0, e fin qui mi torna. Ma poi scrive che il
propagatore e' del tipo 1/(dx^2-dt^2), e qui mi perdo dato che gli
unici propagatori esatti che conosco sono quelli della particella
libera, e quello del fotone libero. Quello della particella libera
ha questa forma:
1/Sqrt[dt] * Exp[ - A * dx^2 ] , A=costante
Quello del fotone libero e' l'antitrasformata di Fourier di 1/p^2, in
pratica di 1/(omega^2-k^2), con in piu' una peculiare regola di
aggiramento dei poli (aggiramento simmetrico).
> Se vuoi dire che:
>
> (d^2/dt^2 - d^2/dx^2 - d^2/dy^2 - d^2/dy^2) D(t,x,y,z) = b
> delta(t,x,y,z)
>
> sono d'accordo. Ma anche F soddisfa questa equazione.
A me non risulta; dammi qualche indicazione sul come lo verifichi.
>> La funzione D(x,t) ha rappresentazioni integrali di vario tipo,
>> compresa la rappresentazione a "cammini" di Feynman.
>
> Qui non ti seguo.
Parlavo dei *path integrals*, naturalmente. Dare un'idea di cosa siano
non e' facile, specie senza la possibilita' di scrivere formule; ma
forse un parallelo puramente matriciale ti potrebbe far intravedere
la tecnica sottostante. Se nel seguito dico delle cose a te arcinote
e/o ovvie, ti chiedo scusa. Lo sai, io sono uno scrive per
passione :)
Immagina di avere le matrici D e W legate dalla relazione D=Exp[i*W] e
sia N un intero molto grande (i=unita' immaginaria). Considera
l'indentita' :
D=( exp[i W/N] ) ^ N= exp[iW/N]*exp[iW/N]*exp[i W/N]* .....
Poniamo G=e^(iW/N). Immagina ora di introdurre gli indici matriciali
(due per ogni fattore; per brevita' x1,x2,x3,x4 ...xN) e di
effettuare i prodotti con la nota regola del prodotto matriciale:
D(x1,xN)= Sum[ G(x1,x2)*G(x2,x3)*G(x3,x4)* ...* G(xN-1,xN) ]
sommando cioe' sugli indici ripetuti: su x2, su x3, etc.
Essendo ogni G di tipo esponenziale, il prodotto di tutti i G si
potra' certamente scrivere nella forma di un solo esponenziale
exp[i*S], dove pero' l'esponente dipende da tutti gli indici di
somma: S=S(x1,x2,x3 .... xN).
Anche la somma multipla su tutti gli indici intermedi x2....x(N-1)
potrebbe essere sintetizzata: invece di dire che stiamo sommando su N
indici discreti x1,x2,x3 ... possiamo dire che siamo sommando
exp( i*S[x(t)]) *su tutte le successioni x(t)* che passano per i
due punti (x1,0) e (xN,N):
D(1,N)= Sum[ exp( i*S[x(t)] ), x(t) ]
Per N->infinito, x(t) da successione diventa funzione, S[x(t)]
diventa un funzionale, e la somma diventa un integrale di Feynman; in
pratica, un integrale con infinite variabili di integrazione,
collettivamente indicate con x(t):
D(1,N)= Integrate[ exp( i* S[x(t)] ) * d x(t) ]
In sostanza, ogni percorso x(t) che congiunge i due punti [0,x(0)] e
[N,x(N)] rappresente un possibile insieme di indici e fornisce un
contributo al valore finale di D, di intensita' proporzionale a
exp(i*S[x(t)]).
Inoltre, si puo' dimostrare che il contributo piu' grosso proviene da
quella funzione x=X(t) che minimizza S in senso variazionale
(principio della fase stazionaria), mentre le altre x(t) sono delle
"fluttuazioni" intorno al contributo principale.
Fin qui e' tutta matematica. Pero' e' anche chiaro che il metodo
puo' essere applicato in quei campi della Fisica descritti da qualche
Principio Di Minimo; basta identificare S con l'azione hamiltoniana
del sistema e andare avanti. Nella fisica quantistica, la soluzione
estremale x=X(t) e' l'approssimazione classica; le "fluttuazioni"
sono le correzioni quantistiche o semiclassiche che dir si voglia.
Nella fisica statistica, X(t) e' la Termodinamica dei valori medi
(P,T,U, etc ... PV=nRT etc), e le "fluttuazioni" sono le fluttuazioni
statistiche propriamente dette (che hanno le proprie leggi).
Nell'esporre queste considerazioni, ho molto semplificato (operatori
non commutativi; ordinamento temporale T, etc), ma spero di esserti
stato utile comunque.
Michele
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Received on Tue Oct 19 2004 - 22:43:53 CEST