Furio Petrossi ha scritto:
> E' interessante il fatto che in matematica, specialmente nella
> didattica, c'è una corrente teorica, l"Analisi non standard", che
> recupera il concetto di infinitesimo dx e introduce i numeri
> "iperreali" del tipo x+dx
Lo so, me n'ero interessato molti anni fa.
Sta di fatto però che in almeno 50 anni non è riuscita a sfondare.
Sono sicuro che ne abbiamo parlato, in qualche precedente era
geologica, qui o in ism.
> qui c'è il problema del verso dei versori, immagino che questo
> determini il segno del flusso
Certo: gli elem. di sup. sono da intendersi orientati e il verso di n
è coerente con l'orientamento.
> se T, visto che manda vettori in vettori, può essere espresso come
> matrice, allora p è una autovalore?
Non c'è bisogno di tirare in ballo le matrici.
I concetti di autovettore e autovalore si possono definire
direttamente sugli operatori lineari.
Vediamo per es. come si dimostra l'osservazione di Cauchy:
"se T n in un punto P è parallelo a n per ogni n, allora |T n| non
dipende da n, ossia Tn = pn con p costante in P per ogni n".
Se Tn è parallelo a n, stiamo dicendo che n è autovettore di T con
un autovalore p.
Per ipotesi, tutti i vettori sono autovettori di T: presi due distinti
versori n1, n2:
T n1 = p1 n1 (1)
T n2 = p2 n2 (2)
e dobbiamo dimostrare che p1 = p2.
Sommiamo le (1), (2):
T n1 + T n2 = p1 n1 + p2 n2.
Per la linearità:
T(n1 + n2) = p1 n1 + p2 n2.
Ma per ipotesi
T(n1 + n2) = p (n1 + n2) per un qualche p.
Quindi
p1 n1 + p2 n2 = p (n1 + n2) = p n1 + p n2
(p1 - p) n1 + (p2 - p) n2 = 0. (3)
Ma se n1 e n2 sono diversi la (3) richiede
p1 - p = 0, p2 - p = 0
ossia
p1 = p2 = p
c.v.d.
--
Elio Fabri
Received on Thu Jan 30 2020 - 15:19:49 CET