JTS ha scritto:
> Ho dato un'occhiata alla pagina di Wikipedia
> https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_stress_tensor e mi pare che la
> dimostrazione usi il fatto che per una parte di materia piccola il
> moto e' determinato solo dalle "parti differenziali" degli sforzi
> mentre la relazione lineare si applica alle "parti finite" (mi
> esprimo in maniera imprecisa ma penso che verro' capito).
Mica tanto...
Direi che l'assunzione forte è che sia sufficiente ragionare al primo
ordine, ossia che la curvatura della superficie non abbia influenza.
Questo porta a ragionare sullo spazio tangente, ossia su quello che
oggi i matematici chiamano "differenziale della mappa" che manda la
porzione di superficie nella forza.
> la relazione tensoriale che dimostriamo vale solo per "lo stesso
> materiale e lo stesso punto".
Stesso punto (o meglio intorni dello stesso punto) va bene.
Ma dove sta scritto "stesso materiale"?
> Se prendo una faccia di un pezzo di pietra e una faccia di un pezzo
> di pietra diverso, la relazione non si applica ;-)
Perché no?
Forse l'analogia col caso dell'elettrostatica nella materia può
aiutare (e forse è questa che ti ha messo fuori strada).
Lì definisci due campi vettoriali, E e D, legati dalla relazione
costitutiva D = eps*E (pensiamo solo a mezzi isotropi).
Se hai due mezzi e una sup. di separazione, lì nasce il problema della
continuità, ed è ovvio: eps *non è* continua, quindi E e D non possono
essere continui.
Ma nel nostro caso abbiamo definito solo il tensore degli sforzi, e
nessuna relazione costitutiva (non ancora, e io non la tirerò in
ballo, non ci penso proprio).
Se dovessimo fare teoria dell'elasticità avremmo accanto a T un
secondo tenosre U delle deformazioni (strain) con una complicata
relazione costitutiva tra i due (anche quando è lineare, il tensore
che la descrive è di quarto ordine...).
Lì nascerebbe il problema, perché alla discontinuità tra due mezzi T e
U non possono essere continui.
Quindi non sono definiti *sulla* superficie di separazione, ma su
aperti che hanno come parte del loro contorno quella superficie.
In altre parole, sono definiti in punti comunque vicini alla sup.
Tanto da poter definire limiti "destri" e "sinistri".
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Elio Fabri
Received on Thu Jan 30 2020 - 15:20:50 CET