On 31.01.20 18:16, user_at_nowhere.com wrote:
> On Fri, 31 Jan 2020 16:32:06 +0100, JTS <pireddag_at_hotmail.com> wrote:
>
>> On 31.01.20 14:05, user_at_nowhere.com wrote:
>>
>>>
>>> A questo punto inizia la dimostrazione vera e propria. Si fanno varie
>>> considerazioni, si lascia tendere a zero \delta e si giunge alla
>>> conclusione. >
>>
>> Riguardando, il punto chiave mi pare (data l'ipotesi di continuita')
>> l'uguaglianza per gli elementi di superficie del tetraedro
>>
>> dA_i = (n_i dot n) * dA
>
> Sì è una relazione che si usa.
>
IMHO e' quella in cui c'e' "nascosta" la conclusione che gli sforzi
costituiscono un tensore, perche' e' quella in cui si esprimono le
proprieta' dello spazio. La relazione di continuita' serve per
trasformare la relazione che vale con approssimazione per tetraedri in
una relazione che vale in maniera esatta per un punto.
> Ho guardato solo ora la pagina di wikipedia citata
>
> https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_stress_tensor
>
> e non mi piace troppo.
>
> Intanto si dice del vettore s(x,n) (che lì si chiama T(x,n)) che è
>
> "assumed to depend continuously on the surface's unit vector"
>
> citando il Chadwick. E' vero che il libro del Chadwick (dove non c'è
> la dimostrazione del teorema) lo dice, ma è falso. Se lo supponi non
> sbagli perché alla fine dimostri che la dipendenza è lineare, ma NON è
> necessario supporlo, se uno conosce i dettagli della dimostrazione.
> Sono rimasto stupito che Chadwick l'abbia scritto, a dire il vero.
Non sono neanche io entrato in tutti i dettagli, ma mi pare che per
scrivere
dA_i = (n_i dot n) * dA
e
s(n) dA = s(e1) dA1 + s(e2) dA2 + s(e3) dA3 + infinitesimi
non occorra fare ipotesi sulla dipendenza di s da n
>
> Poi la frase
>
> "The Cauchy stress tensor is used for stress analysis of material
> bodies experiencing small deformations: It is a central concept in the
> linear theory of elasticity. For large deformations, also called
> finite deformations, other measures of stress are required, such as
> the Piola�"Kirchhoff stress tensor, the Biot stress tensor, and the
> Kirchhoff stress tensor. "
>
> I tensori citati sono tutti figli del tensore di Cauchy e cmq anche
> per deformazioni finite ti serve usare anche il tensore di Cauchy.
>
Questa se fossi in te la correggerei: io non mi sento abbastanza
autorevole ;-)
Pero' capisco che non e' chiara: "are required" e' vaga, infatti non
dice per cosa sono necessarie le altre misure dello stress, e d'altra
parte si vede che la definizione di "tensore degli sforzi di Cauchy"
conduce ad un tensore per ogni configurazione del corpo.
>
>
> Più discutibile la frase:
>
> "According to the principle of conservation of angular momentum,
> equilibrium requires that the summation of moments with respect to an
> arbitrary point is zero, which leads to the conclusion that the stress
> tensor is symmetric, thus having only six independent stress
> components, instead of the original nine"
>
> Vero, ma è vero non solo in equilibrio ma anche in condizioni
> dinamiche. Il tensore T è sempre simmetrico, a meno non si tratti di
> materiali di tipo "polare", ma questi escono dalla trattazione
> classica. La frase fa pensare che T sia simmetrico solo in statica.
>
>
Anche qui se fossi in te correggerei, di nuovo non mi sento abbastanza
autorevole (di nuovo lo smiley: ;-) ).
Utilizzando l'intuizione, comunque, il fatto che la somma dei momenti
deve essere zero anche in condizioni dinamiche e' analogo al fatto che
la II di Newton applicata a un tetraedro molto piccolo porta
all'uguaglianza delle forze: per parti infinitesime di materia sono
vietate differenze finite di forze o di momenti.
Sui materiali polari pero' sono curioso, mi basta un riferimento
(infatti apparentemente violano il divieto che ho descritto nella frase
sopra!).
Received on Fri Jan 31 2020 - 18:54:29 CET