Re: Algebre di Lie del gruppo di Lorentz e di SU(2)

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 11 Oct 2004 20:45:43 +0200

Winston Smith ha scritto:
> ...
> Per finire, un punto che non mi � del tutto chiaro: abbiamo detto che
> su(2) � l'algebra delle matrici 2x2 anti-hermitiane e a traccia nulla.
> Se la complessifichiamo, il requisito di anti-hermitianit� cade e
> rimaniamo con l'algebra di Lie delle matrici 2x2 a traccia nulla;
> quindi C * su(2) = sl(2,C). Ne segue che C * so(1,3) � isomorfa a due
> copie di sl(2,C). Quello che non ho ancora capito � se questo c'entri
> qualcosa con il fatto che SL(2,C) (stavolta il gruppo, non l'algebra)
> � il ricoprimento universale di SO(1,3)...
La parte che ho tagliato e' molto chiara e ti ringrazio.

Tetis ha scritto:
> Grazie per l'attenzione anzitutto. Penso che la risposta la
> dara' Fabri che ha studiato questi argomenti con molta piu'
> attenzione ed ha molta piu' esperienza.
Uhm... Mi sa che sei ottimista...
E' passato molto tempo da quando potevo dire di sapere queste cose.

> Esatto, convergiamo. Non saprei come definire in generale la
> complessificazione di un gruppo, ma per esempio Haag la definisce come
> l'algebra delle matrici complesse, in luogo che reali, che verificano
> la condizione di isometria. Per esempio posso considerare la
> complessificazione di O(2) pero' non saprei come intendere la
> complessificazione di gruppi con condizioni ausiliarie che non siano
> di tipo algebrico. Sta di fatto che mi sembra che la
> complessificazione dell'algebra di un gruppo sia proprio l'algebra del
> gruppo complessificato quando questo puo' essere definito.
Che ne diresti di prendere una parametrizzazioen del gruppo (con
coordinate reali) e farne un "prolungamento analitico", sostituendo le
coord. reali con coord. complesse?

Voglio dire: se x sono le coord. reali, definite in una insieme X, la
tabella di moltiplicazione si esprimera' come una funzione XxX --> X:
f(x,x') sono le coord. del prodotto dell'elemento di coord. x per
quello di coord. x'.
Ora sostituisco x con z (complesse) e la f(x,x') col suo prolungamento
analitico f(z,z').

> ...
> Provo a studiare un poco di situazioni per vedere se la nebbia si
> dirada: torno ad SO(2) la complessificazione dell'algebra di SO(2) e'
> l'insieme delle matrici complesse antisimmetriche due per due. Se
> considero solo la sezione reale dell'algebra ritrovo SO(2) come
> sottogruppo dell'inviluppo dell'algebra complessificata e poi trovo un
> gruppo strano che somiglia ad SO(1,1) ma ha una forma differente.
> Questi sono sottogruppi del gruppo generato sostituendo all'argomento
> della parametrizzazione trigonometrica di SO(2) un numero complesso.
> Ora Cos(ia) = cosh(a) e Sen(ia) = - i senh(a).
> In questo caso l'esponenziale si scrive in forma chiusa facendo
> ricorso alle funzioni trigonometriche complesse. E mi sembra che non
> abbiamo guadagnato particolari vantaggi ma perche' la dimensione di
> questo gruppo e' uno.
Col metodo proposto sopra, SO(2) (ovvero U(1)) si parametrizza con x
(mod 2pi) e la legge di composizione e' la somma: f(x,x') = x + x' (mod
2pi).

Ora consideriamo il gruppo definito da f(z,z') = z+z' (mod 2pi).
Posto z = x+iy, z' = x'+iy', abbiamo
f((x,y),(x',y')) = (x+x' mod 2pi, y+y').
Dunque il gruppo complessificato e' il prodotto diretto di SO(2) per
SO(1,1) (o qualunque altro travestimento di SO(1,1): per es. R^+).

Perche' dici "gruppo strano che somiglia a SO(1,1) ma ha una forma
differente"?

> ...
Piu' oltre mi sono perso.
(Tetis, ho capito chi sei: "agnosco stilum", come disse fra' Paolo
Sarpi :-) )

> Todo passa, nada passa (non proprio gattopardesco).
Mi sa che si dice "pasa", con una sola "s".
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Mon Oct 11 2004 - 20:45:43 CEST