Wakinian Tanka ha scritto:
> Al paragrafo 8 scrivi:
> dP = Theta n d_sigma dt
> ...
> ma dopo, vicino a fondo pagina, scrivi:
> "Stante la relazione generale F = dP/dt,... "
> dF = Theta n d_sigma".
>
> Non dovrebbe essere F = Theta n d_sigma?
Hai toccato un punto delicato, e per di più, senza accorgertene, mi
hai segnalato un serio errore.
Comincio da questo.
L'eq. 9 (par. 12) è scritta
_at_P/_at_t + div Theta = 0
mentre a primo membro ci voleva la *densità* di qdm, che non ho mai
definita.
C'è pure un problema di notazione: secondo la presentazione generale
fatta per i campi scalari, la densità di una grandezza conservata W
dovrei indicarla con la corrisp. minuscola, ossia nel nostro caso con
p grassetto.
Però poco dopo p (corsiva) indica la pressione, con rischio di
confusione.
Ho deciso d'indicare la densità di qdm con pigreca grassetta minuscola.
E dovrò anche aggiungere due parole per definirla.
Veniamo ora alla tua questione.
Qui si tocca con mano l'inadeguatezza del modo usuale (di noi fisici)
di usare simboli come dP, ds, dV. Vediamo.
Quando scrivo F = dP/dt sto semplicemente usando la notazione di
Leibniz per la derivata: P indica la qdm di un (pezzo del) sistema
come funzione del tempo ed enuncio la seconda legge di Newton mella
forma
"forza = derivata della qdm rispetto al tempo".
Nel nostro caso la qdm può variare solo per l'apporto dovuto
all'interazione col resto del sistema, che si trova *fuori* della
superficie chiusa Sigma.
Questo apporto si esprime come integrale su Sigma della corrente di
qdm:
I_P(Sigma) = int_Sigma Theta-n ds.
Dato il significato della corrente, questo integrale è proprio dP/dt,
quindi è F.
Ma che cosa intendo con dF poco sotto, scrivendo
dF = Theta.n ds ? (1)
Nota che Theta è una densità di corrente, quindi è "per unità di tempo".
Se integri questa su Sigma ottieni I_P(Sigma), ossia F:
F = int_Sigma dF.
Cioè il "d"F ci vuole a causa del dsigma, mentre la derivata rispetto a
t è già inclusa nella def. di Theta.
Se preferisci, avrei potuto scrivere:
dP = Theta.n dsigma dt
ossia (horribile dictu!) dP è infinitesimo per due ragioni: perché si
riferisce all'intervallin dt e anche all'areola dsigma.
Quindi qui dP/dt è ancora infinitesimo per colpa di dsigma e perciò è
giusto indicarlo con dF.
Spero di essere stato chiaro, e anche di averti spiegato perché non
potevo mettermi a scrivere tutto questo.
Nel linguaggio fisico usuale il tutto è dato per scontato, senza che
di solito ci si sforzi molto a spiegare che cosa c'è sotto.
Ma non voglio fermarmi qui.
Questo modo di scrivere suppongo fosse comprensibile a Eulero
(1707-1783) ed è rimasto in uso nella fisica matematica per tutto
l'800.
Se si volesse usare il linguaggio matematico odierno, come ci si
dovrebbe comportare?
Intanto si dovrebbe fare una distinzione tra diversi "d".
dt, dP sono *differenziali* di funzioni (del tempo).
dsigma invece indica una *misura* su cui si integra.
F quindi è una notazione ambigua, perché è usata sia per indicare una
funzione del tempo, sia l'integrale di una misura.
Potrei scrivere la (1)
dF/ds = Theta.n ?
Ossia: si può fare la derivata di una misura rispetto a un'altra misura?
Si può: ce lo dice il teorema di Radon-Nikodym, che risale (nota bene)
a solo un secolo fa.
Strasemplificando: se F e s sono misure, sotto una certa condizione
che non dico esiste una funzione f tale che
F = int f ds.
Si scrive f = dF/ds e f si chiama la "derivata di Radon-Nikodym" di F
rispetto a s.
Quindi la mia formula dice che la derivata di R-N rispetto a s (misura
area, definita sul contorno Sigma) coincide con Theta-n.
Non m'illudo di esere stato comprensibile.
Ma ho voluto dare qualche idea di quello che c'è sotto e del fatto che
solo da un secolo la matematica ha messo a posto le cose che i fisici
usavano già da un paio di secoli.
Il problema didattico è: che potremmo fare se volessimo evitare le
nostre usuali "porcherie"?
Io la risposta non ce l'ho.
Magari se gli insegnanti fossero più consapevoli di quello che c'è
sotto, forse riuscirebbero a parlare in modo più sorvegliato (non
pretendo rigoroso).
Però sono il primo, in questo caso, a non esserci riuscito :-)
--
Elio Fabri
Received on Mon Feb 17 2020 - 16:48:33 CET