Re: Spazi lineari.

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Sun, 12 Sep 2004 20:59:25 +0200

Francesco ha scritto:
> A proposito, partendo dal fatto che il prodotto interno opera solo
> sulle n-ple e non c'� bisogno di parlare di base (almeno questo �
> quello che ci ha detto il proff.), in che senso si possono definire
> infiniti prodotti scalari?
Uhmm, ho idea che le n-ple possano piu' confondere che aiutare...
E poi se hai le n-ple hai una base (canonica): quella formata della
n-ple (1,0,0,...), (0,1,0...) ecc.

Per capire meglio il prodotto scalare conviene pensare alla
definizione astratta di spazio vettoriale: spero tu la conosca.
Allora se V e' uno sp. vettoriale (facciamo su R per semplicita')
allora prodotto scalare e' un'applicazione VxV-->R: (u,v) |--> (u.v),
bilineare, simmetrica e definita positiva.
Bilineare e simmetrica assumo che sia chiaro; definita positiva vuol
dire (u.u) >= 0, mentre (u.u)=0 sse u=0.

Allora se pensi alle n-ple una qualunque matrice A simmetrica e
definita positiva definisce un prodotto scalare: (u.v) = A_ik u_i v_k.

> Per� non ho capito come verificare il primo dei due esempi....
>
>> In R^2, accanto al consueto pr. scalare, puoi definire una norma per
>> es. cosi': se u = (u_x,u_y) allora ||u|| = max(|u_x|,|u_y|).
>> Questa norma non discende da un pr. scalare, perche' non soddisfa
>> l'identita' di Carnot:
>>
>> ||u+v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2 + 2 (u.v)
>>
>> per nessuna possibile definizione di (u.v).
>> Infatti ||u+v||^2 - ||u||^2 - ||v||^2 non e' lineare in u e in v.
>> Verificalo per esercizio ;-)
Ti do un aiutino...
Prendi u=(a,0), v=(0,b).
Calcola ||u+v||, ||u|| e ||v||.
Il risultato e' funzione lineare di u? e di v?
                  

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sun Sep 12 2004 - 20:59:25 CEST