Re: Spazi lineari.

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Wed, 08 Sep 2004 21:36:44 +0200

Francesco ha scritto:
> in uno spazio lineare � sempre possibile definire una metrica che
> discende da una norma, che a sua volta discende da un prodotto
> scalare, cio�:
> Prod.scal. ------> Norma -------> Metrica
> Quello che non riesco a capire � se uno spazio lineare dotato di
> metrica, di norma e con prod. scal. posa avere la metrica non
> discendente dalla norma e quest'ultima a sua volta non discendente dal
> prodotto interno.
Avresti fatto meglio a porre la domanda in it.scienza. matematica:
avresti trovato molti piu' esperti...
Comunque qualcosa ti posso dire.

La gerarchia delle strutture e':
sp. metrico \
               -> sp. normato -> sp. con prodotto scalare.
sp. lineare /

Nel senso che ciascuna struttura puo' essere definita senza quelle che
seguono, ma richiede quelle che precedono.

Se hai uno spazio lineare, puoi definire (in infiniti modi) un
prodotto scalare, e puoi usare ciascuno di questi per una norma e una
metrica.
Ma puoi anche definire infinite norme che non derivano dal pr.
scalare, e infinite netriche che non derivano da una norma.

La cosa migliore e' fare un esempio banalissimo.
In R^2, accanto al consueto pr. scalare, puoi definire una norma per
es. cosi': se u = (u_x,u_y) allora ||u|| = max(|u_x|,|u_y|).
Questa norma non discende da un pr. scalare, perche' non soddisfa
l'identita' di Carnot:

||u+v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2 + 2 (u.v)

per nessuna possibile definizione di (u.v).
Infatti ||u+v||^2 - ||u||^2 - ||v||^2 non e' lineare in u e in v.
Verificalo per esercizio ;-)

Quanto alla metrica, basta prendere

d(u,v) = ||u-v|| / (1 + ||u-v||).

Verifica che e' una metrica...
Ma non deriva da una norma, perche'

d(u,0) = ||u|| / (1 + ||u||)

non dipende linearmente da u.

> In pi� volevo sapere se le stesse considerazioni sono applicabili a
> spazi non lineari.
Puoi definire una metrica, e hai uno spazio metrico.
Non una norma, perche' non e' definita la moltiplicazione per uno
scalare.

Pero' esiste un tipo particolare di spazi topologici, le varieta'
differenziabili, su cui puoi definire una metrica "locale", nel senso
di "intorno infinitesimo".
Ottieni cosi' una varieta' riemanniana.
L'esempio piu' ovvio e' la superficie di una sfera.
          

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Wed Sep 08 2004 - 21:36:44 CEST