Re: considerazione banale sulla massa

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Fri, 27 Aug 2004 22:04:56 +0200

Se ora cerco di portare via la "sbarra diritta chiusa a
cerchio" da quella zona di elevata curvatura, cosa accadra`?
Rimarra` sempre chiusa a cerchio, ma non potra` farlo
rimanendo localmente diritta. Dovra` piegarsi o rompersi.
Stessa cosa se faccio la rovescia, costruendo un cerchio
rigido in una zona piatta e poi portandolo in una curva.
Maggiore e` la curvatura, maggiori dovrebbero essere le
tensioni interne.

Questo si' che e' un argomento che merita discussione, e in fondo non
richiede gran che di prerequisiti...
Richiede solo di liberarsi di alcuni pregiudizi, o di "idola fori"
come diceva Bacone (ma saranno "fori" o "theatri"? non ricordo...).

Debbo dire che vi capisco benissimo, perche' io per molti anni mi sono
dibattuto con l'interpretazione fisica della RG, che non riuscivo a
estrarre dai libri che avevo studiato. Finche' non e' uscito
"Gravitation".

Forse conviene partire da un esempio semplice semplice, un po' nella
linea del ragionamento di Bruno (che dice un po' di cose giuste e altre
sbagliate...).
Prendiamo la gomma di Bruno, o una sbarretta qualsiasi. Disponiamola
verticale nel campo del Sole, della Terra, di un buco nero, fa lo
stesso. E lasciamola cadere.

(Premessa essenziale: per quasi tutto il ragionamento non occorre
conoscere la RG ne' aver mai sentito parlare di curvatuira dello
spazio o dello spazio-tempo - Paolo continua a confondere... - La
buona vecchia gravitazione newtoniana basta, salvo nelle condizioni
estreme. E comunque da' sempre una corretta indicazione qualitativa.)

Come preparazione chiediamoci: se lascio cadere due masse separate,
disposte in verticale, che succede?
Risposta ovvia: cadranno ma con accelerazioni diverse; quindi si
distanzieranno sempre piu'.
Possiamo anche calcolare l'accel. relativa: vale 2GMd/r^3 (formula
valida per d<<r).
Se voglio impedire che si separino, dovro' vincolarle, per es. con un
filo. Che tensione dovra' produrre questo filo?
Risposta: GMmd/r^3.

Il caso della sbarra e' analogo, solo che abbiamo una massa
distribuita. Nella sbarra si dovra' produrre una tensione, necessaria
per "tenere ferme" le parti esterne, ed e' ovvio che la tensione sara'
massima al centro.
Rispetto al calcolo di prima cambia solo un fattore numerico, e la
tensione massima vale GMmd/(4r^3), essendo m la massa totale della
sbarra e d la sua lunghezza.

Questa tensione c'e', e' reale, si potrebbe benissimo misurare,
provochera' un allungamento della sbarra (o della gomma) di un'entita'
che dipende dal modulo di elasticita', e puo' quindi essere reso
piccolo se il materiale e' abbastanza rigido.

E' utile mettere i numeri, ma lo lascio a voi. Sulla Terra, e anche
alla superficie del Sole, sarebbe un effetto piccolissimo. Nei pressi
di un buco nero (ma anche di una stella di neutroni) sarebbe invece
devastante: nessun materiale potrebbe reggere.

Bene. Ora questo effetto, che nella fisica newtoniana sichiama "forza
di marea" in RG si spiega con la curvatura dello spazio-tempo: due
geodetiche di tipo tempo (caduta libera dei corpi) non possono
mantenere distanza costante.

Esercizio: che accadrebbe se facessi cadere la sbarra orizzontale?

Bruno dice:
> Io ho come l'impressione che i problemi che si hanno per l'asta
> iperrigida in caduta nel campo gravitazionale si avrebbero pari pari
> anche se l'asta fosse di gomma. E il problema principale che a me pare
> di vedere e' il fatto che l'asta essendo "sempre" in accelerazione non
> sara' mai in equilibrio e quindi non potra' mai essere usata come
> regolo.
> Si ha un bel dire che localmente nel riferimento in caduta libera non
> si osserva alcun campo gravitazionale.
> Il riferimento stesso e' un enorme regolo e se e' in accelerazione
> perche' immerso in un campo gravitazionale (anche uniforme, se poi il
> campo non e' nemmeno uniforme le cose si complicano ulteriormente)
> allora non puo' essere all'equilibrio. Il riferimento e' in continua
> fase di "contrazione". Visti da un riferimento inerziale "fermo" i
> regoli del riferimento in caduta libera appaiono, oltre che contratti,
> anche "da contrarre ancora di piu'". Se e' A(t) la legge oraria
> dell'estremo A di un regolo fisso nel riferimento in caduta libera,
> allora la legge oraria dell'estremo B dovra' essere
> B(t)=A(t)+gamma(t)*L (L=lunghezza di riposo del regolo), cioe' se
> l'estremo A e' localmente in moto uniformemente accelerato allora non
> puo' esserlo anche B.
Per cominciare, mi pare che tu confonda due cose diverse: quello che
succede a un'asta accelerata in uno spazio-tempo piatto, e quello che
succede nella caduta libera come nel mio esempio.

Nel primo caso, se l'accelerazione e' costante (moto iperbolico)
l'asta non si accorge di niente.
Nota che niente ti obbliga ad accelerarla spingendola o tirandola solo
a un estremo: con opportuna tenica potresti applicare tante piccole
forze distribuite lungo l'asta, in modo da avere il moto che vuoi.
Percio' niente onde elastiche: l'asta nonsarebbe sollecitata in nessun
modo.
(Tutto quello che ho detto non e' banale, tanto e' vero che soo anche
state detto cose sbagliate su questo problema. Ma oggi la questione e'
pacificamente risolta, direi.)

Nel secondo caso, la tensione eiste, come ho mostrato. E dato che va
come 1/r^3, man mano che l'asta si avvicina al centro la tensione
cresce. Quindi in questo senso non c'e' equilibrio, ma non ci vedo
niente di problematico. Se l'asta e' abbastanza rigida si deformera'
poco.

> ...
> In RR il ruolo dei regoli e' chiaro (senza regoli non si puo' nemmeno
> costruire lo spazio-tempo, se non come ente puramente matematico,
> pressoche' inservibile in fisica), ma in RG i regoli quando
> intervengono? Non posso mica usare un regolo solo "localmente"? Che
> significa localmente? Il regolo ha una sua dimensione finita, non e'
> "locale" per definizione. Quando nel mio riferimento in caduta libera
> voglio associare ad ogni punto una terna di numeri (le coordinate del
> punto) prendo il regolo partendo da un certo punto, l'origine, e
> comincio a mettere le bandierine, 1, 2, 3, ... devo pensare che piu'
> mi allontano dall'origine e piu' il numerino che metto sulla
> bandierina e' "sbagliato"?
> Ma sbagliato rispetto a cosa?
Mi devi scusare se ora non rispondo a questo, ma debbo ancora dire
qualcosa a Paolo, e ho gia' scritto parecchio...

Paolo Russo ha scritto:
> Faccio un esempio tirato al limite per rendere le cose piu'
> evidenti: sono in una zona dove la curvatura e` tale per cui
> una retta si curva talmente da chiudersi su se stessa e
> diventare un cerchio (non so se sia possibile, dovrei
> pensarci; a occhio dovrebbe essere al limite di un buco
> nero). In quella zona costruisco un cerchio con un materiale
> duro e fragile che in effetti e`, localmente, una semplice
> sbarra diritta... ma grazie alla curvatura arrivo a unire le
> due estremita` senza problemi.
Non hai raccolto quello che ho scritto nel mio precedente post, non so
perche'.
Continui a pensare allo "spazio" curvo, come se la cosa avesse un
ovvio significato intrinseco, ma non e' cosi'.

Ma soprattutto non capisco da dove trai la convinzione che una "sbarra
diritta" in uno spazio curvo *debba* assumere la forma di una
geodetica dello spazio.
Non conosco nessun pricnipio fisico che dica questo.
                                      

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Fri Aug 27 2004 - 22:04:56 CEST