Non so se � arrivata la prima risposta, comunque cerco di
dettagliare.
Il 10 Ago 2004, 19:56, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> Giovanni Bramanti ha scritto:
> > E' imbarazzante dopo avere studiato tanto trovarsi tanto in
> > difficolta' con questi quesiti:
> Eh eh... (sogghigno maligno).
> Scherzi a parte, il problema non e' che tu abbia qualche difficolta':
> sono abbastanza normali. E' che per risponderti ci vorrebbe ben altro
> che un normale post...
> Percio' non ti aspettare risposte complete; ma per una volta credo che
> scrivero' piu' io di te :-)
D'accordo, non mi aspettavo risposte complete, ma indicazioni di lettura,
discussione del possibile e dell'impossibile e risposte sul gi�
fatto. Come dicevo nella precedente risposta quello che mi lascia
interdetto � che per quanto sia naturale porsi il problema della
generalizzazione di nozioni di uso comune in ambito galileiano
(quantistico e non), per quanto le discussioni siano fioccate nel corso
di questo secolo, per quanto sia naturale chiedersi come spiegare da
teorie di principio i fatti osservati, per contro la letteratura didattica
persino
quella specializzata in QED e teoria dei campi affronta pochissimo queste
tematiche. L'articolo pi� divulgativo che ho trovato e' niente meno che
di Erwin Schroedinger degli anni quaranta e lui stesso mostrava delle
difficolt�, l'estensione relativistica della QED che era gi� completa a
quel tempo non era pienamente compresa o incodizionatamente accolta.
Oggi per� la situazione dovrebbe essere differente. Pure se, immagino, la
trattazione completa del ruolo elettromagnetico del nucleo non deve essere
facile. Senza aspettare di avere la QCD per descriverlo completamente,
quello
che trovo strano � che non si trovi una discussione delle difficolt� o dei
modi
possibili di affrontare questo problema da un punto di vista generale e di
principio.
> > Classicamente nel riferimento del centro di massa il momento angolare
> > di una particella e' zero. Se specifico lo stato di una particella con
> > psi(x,t) e la sua evoluzione con p^2/2m esiste un riferimento del
> > centro di massa? Direi tentativamente che psi(x-<x>,t) descrive la
> > particella rispetto al centro di massa. E' vero che in tale rif. Lz=0?
> A parte che non vedo perche' privilegiare Lz, io tornerei un po' a monte.
> Affermo che per *una* particella il concentto di centro di massa in
> m.q. (relativistica o no) non ha senso.
> In m. classica "centro di massa" di un sistema significa due cose:
> a) un punto, definito come sappiamo
> b) un sistema di riferimento: quello in cui il cdm e' fermo, oppure
> quello in cui il sistema ha q. di moto nulla.
> Hai gia' capito: non puoi avere il cdm fermo in una data posizione e
> insieme q. di moto nulla.
Questo per� non esclude di avere i valori medi di entrambi. E
pure del momento angolare, allora mi sembra che cos� come
classicamente una densit� di materia distribuita ammette un
centro ed un impulso ed un momento angolare, senza che nessuno
dei tre sia una caratteristica di alcun punto della distribuzione, cos�
quantisticamente queste tre grandezze medie dovrebbero essere
definite. C'� una differenza � chiaro, ma questa differenza � tenuta
in considerazione nello schema di Scroedinger dalla circostanza che
l'impulso � legato al gradiente e che soggetto di evoluzione temporale
� la funzione d'onda, che non � una densit� materiale in senso stretto.
Quello che sul piano non relativistico mi chiedo � se l'evoluzione
temporale di questo valore medio corrisponde ad un moto lineare
uniforme e se per caso non valga una equazione come quella classica:
<x> = <x0>+<p>t/m, e se il valor medio del momento angolare ha un
minimo quando il centro delle coordinate sia posto in <x0>.
> Se hai un sistema di punti (pensiamo a due soli, ma il procedimento
> si generalizza), con le loro brave coordinate canoniche q1, p1, q2, p2,
> puoi introdurre le coordinate del cdm Q, P=p1+p2 e le coordinate
> relative q = q1-q2, p (non ho scritto le definizioni di Q e di p, che
> contengono le masse, ma sicuramente le conosci).
> Questa e' una trasf. canonica, per cui puoi benissimo vedere lo sp. di
> Hilbert degli stati del sistema come prodotto tensoriale di H(cdm) e
> di H(rel). Lo stato generico sara' ovviamente "entangled", ma puoi
> decidere di restringerti al sottospazio P=0, il che vuol dire
> "mettersi nel rif. del cdm".
Anche qui quello che mi chiedo � se � possibile generalizzare al caso
quantistico quanto segue: classicamente <s1> + <s2> +<L_rel> � una
quantit� conservata dalla interpretazione molto semplice. s1 � il momento
angolare rispetto al c.d.m della prima distribuzione, s2 il momento angolare
rispetto al c.d.m. delle seconda distribuzione. Esiste il c.d.m comune ed
L_rel � dato dalla quantit� di momento angolare dei due centri materiali
rispetto al terzo.
> Il mom. angolare orbitale del sistema (ricorda che il mom. ang.
> richiede non solo di precisare il sistema di riferimento, ma amche il
> "polo") rispetto all'origine e'
> L = q1xp1 + q2xp2 = QxP + qxp.
e questo dovrebbe generalizzare <L_rel>. A questo punto emerge
il primo dubbio a livello quantistico non relativistico, nella m.q. non
relativistica gli spin delle particelle sono considerati come gradi di
libert� aggiuntivi per ragioni di bilancio. Quello che svanisce � proprio
l'interpretazione in termini intrinseci. Dalle coordinate delle componenti.
A questo punto credo che lo stesso Scrhoedinger pensasse che questo
fosse un problema di incompletezza della teoria, ovvero se la teoria
fosse stata capace di valutare in maggior dettaglio le grandezze delle
particelle elementari avrebbe dovuto essere possibile scrivere tutto in
termini di gradi di libert� iniziali. Non appena uno fa un conto delle
dimensioni
di questi oggetti dei loro spin trova che la teoria non relativistica non
pu�
entrare in tale dettaglio. Occorre una teoria quantistica relativistica e
chiss�
se basta? (I tempi diranno poi che non bastava ed � quanto basta e quanto
non basta che vorrei comprendere).
> Nel rif. del cdm il primo termine e' identicamente nullo e il secondo
> si chiama di solito "mom. ang. _relativo_ al cdm", ma ora vedi che
> occorre essere precisi. Indichiamolo con S.
> Da qui in poi si va avanti tranquilli, perche' le componenti di S
> hanno le solite relazioni di commutazione, ecc.
>
> E' ora chiaro che se hai una sola particella non puoi fare niente del
> genere.
> Puoi fare due cose:
> a) cambiare sistema di rif., con una trasf. di Galileo se sei in
> teoria non relativistica
> b) restringerti agli stati (all'_unico_ stato) in cui p=0.
> Ammesso che serva a qualcosa, nel secondo caso hai uno stato in cui il
> mom. angolare e' nullo, come si vede anche dal fatto che la f. d'onda
> psi(x) e' costante dappertutto, quindi invariante per rotazioni.
> Ma non e' quello che volevi, direi.
No, in effetti no, spero di aver precisato meglio quello che intendevo
adesso.
> La prima alternativa invece manda q in q-vt e p in p-mv, essendo v la
> velocita' del nuovo rif. rispetto al vecchio.
> E' anche questa una trasf. canonica (v e' un c-numero) ma se fai i
> conti vedi (e' ovvio) che nessuna scelta di v ti fa diventare L
> identicamente nullo.
> E' ovvio appunto perche' una trasf. canonica non puo' fare questo,
> dato che Lx, Ly, Lz non commutano.
E questo non � vero classicamente dove la parte orbitale di
momento angolare pu� essere posta a zero.
> > Quello che mi risponderei da solo e' che il momento angolare e' non
> > nullo in generale.
> L'abbiamo visto.
>
> > Ma quello che non riesco davvero ad esprimere e' questo quesito in
> > formulazione di Dirac. Trovo la densita' di energia impulso, trovo la
> > densita' di corrente, ma come esprimo il fatto che il centro di massa
> > si muove di moto rettilineo uniforme? Tentativamente direi integro la
> > densita' di massa in r (posizione spaziale) e trovo un valor medio, la
> > difficolta' che incontro sta nel dimostrare che quando cambio
> > riferimento questa densita' cambia come si deve.
> Qui si' che mi viene da sogghignare :-)
> Non sei mica il primo che si e' rotto la testa con questi problemi...
>
> Ma in realta' i problemi sono due distinti.
> 1) Teoria relativistica (non quantistica) del centro di massa.
> 2) Applicazione alle particelle di Dirac.
Ed aggiungerei:
3) applicazione a particelle non di Dirac, anche limitandosi ai fermioni.
che poi tutti fanno tutt'uno fra non Dirac ed esser la particella composta
e richiedere questo la precisazione dei dettagli di struttura.
> Il primo problema e' trattato piu' o meno a fondo in molti testi di
> relativita' (ristretta). Ne sai qualcosa?
Si come avevo gi� detto conosco, anche se c'� depositata sopra
della ruggine, il modo di procedere in termini di densit� tensoriali.
In particolare non ricordo come si interpretano i termini T_ij del
tensore energia impulso, in particolare la difficolt� che trovo �
che per una densit� di materia nello spazio mi occorrono tre
campi mentre in tutte le trattazioni relativistiche e quantistiche
si parte con un campo di poco trasparente interpretazione che �
il campo di Klein-Gordon.
Quindi dal mondo classico al mondo quantistico c'� questo primo
salto didattico. Dovuto a due circostanze: da una parte la teoria
dell'elasticit� � non relativistica, dall'altro le teorie relativistiche
sono generalmente quantistiche. E mi sembra che ci sia un vuoto
da una parte con riguardo ad una teoria relativistica dell'elasticit�.
Dall'altro di interpretazione dei campi.
Tensore energia impulso. Ovvero densit� di energia ed impulso,
Tensore del momento angolare definito a partire dal tensore
energia impulso. Esiste una trasformazione che annulla l'integrale
della densit� spaziale, ed in quel riferimento esiste una densit�
posso valutare l'integrale del tensore angolare.
> Per ora ti dico solo che in relativita' cdm e mom. angolare sono
> strettamente imparentati.
> Formalmente, cio' discende dal fatto che i generatori del gruppo di
> Poincare' sono appunto, (detto alla buona) quadrimpulso, mom.
> angolare, centro di massa.
> Ti e' noto questo?
Ieri dopo la prima lettura non avevo affatto chiaro perch� avessi
aggiunto centro di massa. Ora sono un poco pi� fresco ed � perch�
come detto prima occorre tenere in conto dettagli di struttura.
> > Per un sistema di masse relativistiche calcolo il quadrimpulso totale
> > facilmente, ma se cerco di calcolare il centro di massa come devo
> > procedere?
> Appunto...
> Ora e' un po' lunghetto da spiegare, e ci vogliono un po' di formule
> con indici.
> Se non trovi un posto dove e' spiegato come si fa, ti daro'
> l'indicazione di un capitolo di mie lezioni.
Dunque direi questo: x^i T^00 � una parte del momento angolare.
E quindi quando faccio una trasformazione di coordinate trasforma
come quelle componenti. Per� da qui in avanti mi sembra una
selva oscura. In termini di due particelle direi E1 r1 + E2 r2 quando
faccio una trasformazione di coordinate compare il tempo come
� giusto per tener conto delle traslazioni e compare l'impulso
come � giusto per tener conto del fatto che questa informazione
sulla dipendenza dal tempo � contenuta nell'impulso, poi ci saranno
effetti di densit�.
Comunque per procedere con calma mi basterebbe una interpretazione per
una densit� di materia assegnata nello spazio con componenti di quadri
impulso definite delle grandezze tensore energia impulso e momento
angolare. Io ho tentato la strada di scivere la densit� lagrangiana per
questo moto generalizzando quella di particella materiale libera. Ma
a parte che gioco forza sbatte tutto con tutto e si formano caustiche
il problema di base � che la generalizzazione relativistica in spazio
pseudo-euclideo non riesco a farla sortire convessa, non ho allora
avuto molto successo nel trovare il classico tensore energia impulso
per questa via. Occorrerebbero delle relazioni costitutive.
> > Legata con questa domanda c'e' ne' un'altra un poco piu' complessa:
> >
> > Se considero l'evoluzione temporale di uno stato che e' autostato di
> > L_z siccome L_z commuta con p^2/2m rimane autostato di L_z. In m.q. ho
> > delle regole di selezione basate sulla conservazione del momento
> > angolare che pesano solo l'elettronico per processi fotoemissivi. La
> > QED come esclude, se lo esclude, che il centro di massa acquisti
> > momento angolare in fotoemissione?
> Non sono sicuro di aver capito. Forse si', ma vorrei magari un esempio
> piu' preciso, cosi' posso tentare una risposta piu' mirata.
In un altro momento, mi sembra che ci sia gi� abbastanza da meditare
sulle questioni relativistiche classiche. Cerco solo di riassumere la
tematica:
esiste un modo per dedurre le regole di selezione note sul piano
spettroscopico
classico da una trattazione relativisticamente invariante delle interazioni
elettromagnetiche che sia trasparente sul piano della interpretazione
classica delle approssimazioni eventualmente introdotte? Ad esempio
qualcosa che usi le trasformazioni canoniche tenendo conto per� anche
dei gradi di libert� interni del sistema per ricalcalre le grandezze
classiche.
Per esempio atomo di idrogeno e campo elettromagnetico.
Il protone � uno spinore, verifica l'equazione di Dirac ed ha un fattore
giromagnetico estrinseco, cio� non previsto dalla soluzione delle
equazioni di Dirac. Per� come avrai capito prima di arrivare a questo
avrei bisogno di una interpretazione da base classica delle grandezze
in gioco. Nei limiti del possibile.
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> Elio Fabri
> Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Inviato via
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Received on Wed Aug 11 2004 - 12:48:21 CEST