"Paolo Avogadro" <paolo_avogadro_at_libero.it> wrote in message
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> ciao
> Mi � capitato di sentire la parola "tensore" riferita all'operatore
> Hamiltoniano scritto in seconda quantizzazione. Alle volte la parte
> cinetica che si pu� scrivere come un operatore a 1 corpo veniva
> chiamata operatore bilineare, mentre un potenziale a 2 corpi operatore
> quadrilineare.
Dove ne hai sentito parlare? Ad ogni modo l'analogia ha la
sua ragion d'essere, anche se andrebbe considerata con molte
cautele. Il punto e' che a tutti gli effetti se H e'
lo spazio di Hilbert degli stati, T un operatore di H
in H, questo operatore se non e' troppo dispettoso,
e' specificato dai valori assunti da <a|T|b>. Questa
e' una forma bilineare che agisce sul prodotto tensoriale
dello spazio di Hilbert con se medesimo. In dimensione
finita questa e' proprio una cosa buona e giusta, e la
rappresentazione completa dell'operatore puo' essere data
specificando il suo sviluppo nella base H* tensor H*, dove
H* e' lo spazio duale. Se lo spazio ha dimensione infinita
questa forma bilineare vive ancora nel prodotto H* tensor H*.
> I tensori per come li ho visti io sono funzionali lineari, in cui si
> prende la base di uno spazio vettoriale (e_i), si costruisce la base del
> duale definendo E^j (elemento della base del duale) come
> E^j(e_i)=delta^j _i (delta di Kroneker), poi si generalizza ottenendo
> un tensore m-volte controvariante e n volte covariante.
Per come li ho visti io sono funzionali multilineari con
argomenti scelti n volte in uno spazio vettoriale ed m volte
nel suo duale. Pero' in dimensione infinita
le basi discrete e numerabili non sempre sono comode come
in dimensione finita (in particolare una base ortonormale
numerabile puo' risultare impossibile da definire? un teorema
garantisce l'esistenza di una base di Hamel, gram-schmidt
fa il resto, negli spazi di Hilbert hai sempre basi numerabili,
ad esempio la base di Hermite per L^2(R^3))
E' ancora piu' comodo potere utilizzare rappresentazioni
con un continuo di indici. In particolare la rappresentazione
di Fourier di uno stato implica che l'energia cinetica ammette una
rappresentazione diagonale sugli stati impropri:
exp(i k x-om t). Tuttavia esiste qualche difficolta'
ad implementare questo tipo di rappresentazioni, perche'
evidentemente le funzioni exp(...) non sono nello spazio
di Hilbert.
> Devo ammettere che noto una certa somiglianza tra il formalismo
> tensoriale che mi � stato introdotto per Relativit� e gli operatori in
> seconda quantizzazione, ma non mi � chiaro se questa somiglianza sia
> solo formale o ci sia qualcosa di pi�.
> Che relazione esiste tra l'operazione di contrazione per i tensori e per
> gli operatori in 2 quantizzazione?
Direi che limitandosi a considerare operatori autoaggiunti e
limitati la corrispondenza dovrebbe essere uno ad uno, altrimenti
devo pensarci. Il modo che d'istinto seguirei sarebbe cercare
di dar significato alle espressioni come i vettore duale di
e^(i k x) e cercherei di sviluppare una corrispondenza basata
sugli indici. k In modo che ad esempio risulti possibile
considerare le grandezze come k^2 delta(k-k') come prescrizioni
di somma fra indici di rappresentazione su basi generalizzate.
La tecnologia per far questo senza danni dovrebbe essere stata
inventata da Schwartz se non erro.
> Perch� quando si vuole ottenere un operatore ad un corpo per la teoria
> di Hartree Fock si fa una contrazione sul potenziale a 2 corpi?
Non mi e' chiaro il senso di quel che dici. Un operatore ad un
corpo diventerebbe un tensore a due indici. quando lo vuoi applicare
su uno stato lo contrai con la rappresentazione di quello stato
sull'insieme di indici prescelto. Un potenziale di interazione
a due corpi implica quattro indici. Tuttavia, mi sembra,
si possa ottenere qualcosa di affine a quello che dici nello
sviluppo della QED grazie all'aggiunta di un campo.
> E' casuale la somiglianza che c'� tra operatori di creazione e elementi
> del duale (o dello spazio vettoriale) e operatori di distruzione ed
> elementi dello spazio vettoriale(o elementi del duale) ?
> Cerco di spiegarmi meglio: un operatore in seconda
> quantizzazione T=T_ij A+_i A_j e
> un tensore 1volta controvariante e 1 volta covariante almeno formalmente
> sono scritti in modo simile!
Bhe diciamo che l'innalzamento controvariante non e' necessario,
pero' dovrebbe essere possibile.
> Qualcuno pu� indirizzarmi verso qualche libro che mi spieghi gli
> eventuali collegamenti tra questi 2 tipi di oggetti o magari mi pu�
> indicare perch� intuitivamente sono(o non sono) parenti? Per quanto mi
> riguarda � gi� difficile capire perch� un operatore come T=T_ij A+_i
> A_j (spero che la notazione usata sia comprensibile, per A+_i
> intendo l'operatore di creazione dello stato i) venga chiamato operatore
> bilineare, probabilimente c'� qualcosa riguardo gli spazi di Fock che
> non mi � chiaro ma quando penso ad un operatore bi-lineare penso ad un
> operatore da VxV --->V ovvero dal prodotto cartesiano di 2 spazi, mentre
> questo agisce su un solo spazio, lo spazio di Fock appunto!
Penso che sia possibile scriverlo un libro del genere, ma non so
se qualcuno lo ha gia' fatto. Esistono dei libri ottimi che descrivono
strumenti per approssimarsi a questo tipo di argomentazioni, una
discreta introduzione alle basi hilbertiane, pero' quello che scopri
presto leggendoli e' che l'attenzione degli autori si sposta
presto dalle indicizzazioni agli oggetti che le implementano, ovvero
gli operatori.
> ciao
> ciao
> Paolo
Ciao, ciao.
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Received on Fri Aug 06 2004 - 20:53:51 CEST