Il 18 Giu 2004, 22:07, slacky <umbertobox_at_yahoo.it> ha scritto:
> Ciao,
>
> slacky wrote:
> > la serie di fourier converge alla funzione originaria molto bene...
>
> volevo dire alla periodicizzata della funzione originaria...
> ciao
> slacky
Il punto e', mi sembra, che la periodicizzata non ha le stesse proprieta'.
Una funzione limitata su intervallo compatto ha come tu mi insegni una
trasformata smooth ed addirittura estendibile in modo olomorfo al semipiano
complesso a parte immaginaria positiva, una funzione periodica ha
una trasformata nello spazio delle distribuzioni con strappi di forma
delta nei multipli interi di 2pi / T. Una ha energia finita, la periodica
infinita. L'antitrasformata di una funzione analitica puo' avere divergenze
di tipo [1/ sqrt(t)] ^(1-eps) con eps positivo. Ed in generale ammettere
divergenze a quadrato sommabile. Quello io trovavo piu' controintuitivo
della trasformata di Fourier era il fatto di usare funzioni periodiche su un
intervallo infinito come base. Tuttavia correttamente l'integrale di
Fourier puo' essere approssimato da serie di Fourier di periodo
crescente. Qui c'era un'altro laccetto, ora che mi ricordo: quando pensavo
al teorema che la trasformata di una funzione a quadrato sommabile e causale
ha estensione olomorfa sul semipiano superiore, mi intrecciavo perche'
d'altra
parte l'antitrasformata di una serie di Fourier a quadrato sommabile e'
periodica.
Il laccetto si scioglie considerando che la serie di Fourier non e' un
integrale
di Fourier per una funzione a quadrato sommabile bensi' un'integrale di
Fourier per una distribuzione. Questo mi sembrava strano perche' pensavo che
una qualsiasi approssimazione porta la funzione da essere periodica ad
essere
limitata da una funzione evanescente all'infinito. Pero' si spiega dicendo
che
raffinando l'approssimazione delle delta il massimo valore di y tale che
f(y)=k
con k adeguatamente scelto minore del massimo della serie di Fourier, cresce
senza limite superiore, pure se e' finito per ogni approssimante. Ricucito
il
quadro che rivestiva la verita' l'effetto e' allettante perche' si puo'
descrivere
in modo coerente ogni segnale elettromagnetico di energia finita con una
funzione meromorfa dotata al piu' di singolarita' a parte immaginaria non
nulla
che convergono verso l'asse reale quando l'energia del sistema viene
distribuita su uno spazio maggiore.
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Received on Tue Aug 03 2004 - 17:32:34 CEST