Il 29 Lug 2004, 22:33, "nessuno" <depositofiles_at_katamail.com> ha scritto:
> Premettendo che:
>
> - la potenza � l'energia nell'unit� di tempo
> - l'intensit� � l'energia per unit� di tempo e di superficie (ossia la
> potenza per unit� di superficie)
>
> Succede che un'onda sinusoidale ha:
>
> 1) una energia uguale a:
>
> E = 1/2 mk^2A^2
>
> k = pulsazione
> A = ampiezza
>
> ossia energia prorporzionale al quadrato dell'ampiezza ed al quadrato
della
> pulsazione (e quindi della frequenza).
>
>
> 2) una intensit�
>
> I = dE/dSdT = 1/2 d k^2A^2 v
>
> E = energia
> S = superficie
> T = tempo
> d = densit� mezzo
> v = velocit� onda
>
> 3) una potenza uguale a
>
> P = I * S
>
> Domanda: per un'onda che non sia una semplice armonica, ma un'onda
complessa
> descritta da A(x,t) (ad es. un'onda elettromagnetica), come si calcolano
> enegia,
> potenza ed intensit�? Vorrei delle indicazioni per capire come si arriva
> dallo spettro di A(x,t) o dalla stessa A(x,t) a calcolare i parametri
prima
> indicati. Di certo deve restare valido il principio del quadrato del campo
> elettrico. Mentre non dovrebbe valere pi� il discorso della frequenza [che
> dovrebbe per� essere reintrodotto in una visione quantistica, dove per
> calcolare la potenza di un'o.e. bisognerebbe calcolare la somma delle
> energie dei singoili fotoni (dipendenti dalle freq.) e dividere il
risultato
> per la durata della "conta fotonica". Per l'intensit� si rapporta l�a
> potenza alla superficie normale alla direzione dei fotoni che l'hanno
> attraversata.]
>
> Mi pare di aver trovato che:
>
> energia dell'onda E(t,x)
>
> E = campo elettrico
>
> dovrebbe essere * l'integrale su t (da -ooa +oo : ma perch� poi in questo
> intervallo se in effetti l'onda analizzata ha una durata limitata?) del
> quadrato dell'ampiezza (del modulo) del campo elettrico o,
equivalentemente,
> ** l'integrale del (modulo) quadrato della FT di E(t,x) su f, da -oo a
+oo,
> (dominio delle frequenze)
>
> Sarebbe questi i formalismi che ci dicono di come l'energia, la potenza e
> l'intensit� di un'onda dipendanop dal quadrato dell'ampiezza?
>
> Come si calcola la potenza nel caso del'onda complessa E(x,t)? Mi verrebbe
d
> a dire semplicemnte dividendo l'energia totale calcolata con i due metodi
(*
> e **) per il tempo di osservazione (il pezzo d'onda e.m. preso in esame)
> Ho sbagliato tutto??
No,
> Grazie
>
Cominciamo con il ricordare che la parola spettro ha un'origine nella
pratica sperimentale,
ed in fisica matematica ha acquistato anche un'accezione diversa, con
riferimento all'insieme
degli autovalori di un operatore. (Al tempo)
Restiamo nell'accezione classica e parliamo di onde elettromagnetiche
secondo la
concezione di Maxwell. Occorre distinguere:
1) La trasformata di Fourier e' l'integrale del segnale moltiplricato per
un'onda piana
(opportunamente normalizzata) sul periodo scelto. Il periodo va da meno
infinito a
piu' infinito nel caso di un'onda infinita. Il risultato di questo integrale
dipende dalla
frequenza e si chiama componente di Fourier dell'onda.
2) Il modulo quadro del campo elettromagnetica (E^2+B^2) e' proporzionale
alla densita'
di energia associata all'onda elettromagnetica ed e' un numero che dipende
dal tempo.
(se leggi un buon libro vedrai che la questione e' piu' difficile, c'e'
un'equazione di continuita'
e come sia distribuita l'energia di un'onda e' fino ad un certo punto
accertato, si fa una
scelta di semplicita' per un tensore energia impulso che sia conservato, ma
questa scelta
non e' univocamente individuabile).
3) per onde piane E e B sono legati alla direzione di propagazione del campo
Nel caso
di onda piana E e B sono ortogonali fra loro ed alla direzione propagazione
per via delle
equazioni di Maxwell. E' utile ricorrere a vettori complessi. L'informazione
relativa all'ampiezza
e' allora contenuta nel modulo quadro, l'informazione relativa al momento a
cui guardi l'onda
e' nella fase.
4) Se E e B sono vettori complessi con la loro fase quello che tuttavia e'
misurabile in linea
di principio e' solo la sua parte reale. (E+E*)/2 e (B+B*)/2 Da queste
grandezze costruisci
la densita' di energia prendendo la somma dei quadrati ed il flusso di
energia attraverso
una superfice prendendo il vettore di Poynting che e' il prodotto vettore di
questi due quello
che risulta e' una grandezza proporzionale alla densita' di energia. Se
esprimi i campi in
termini di potenziale vettore utilizzando onde piane, siccome il campo
elettrico e' la derivata del
potenziale vettore trovi un'espressione che coinvolge omega per E, e siccome
il campo magnetico
e' il rotore di A trovi un'espressione che coinvolge k. Siccome k e omega
sono legate da una relazione:
c k = omega allora trovi l'espressione in k^2 che hai riportato su.
5) Se fai la trasformata di Fouriere della densita' di energia in un punto
ottieni alcuni prodotti di
convoluzione fra le trasformate di fourier dei campi. Se pero' vai a
guardare il valor medio
dell'energia su un tempo ragionevolmente lungo e su una regione di spazio
adeguatamente
estesa rispetto alle frequenze ed alla lunghezza d'onda della luce
considerata, allora sono
non nulli solo i moduli quadri delle componenti di fourier che sono relative
ad una data
frequenza, ovvero i termini che contribuiscono alla componente di frequenza
zero della trasformata
di Fourier dello spettro. Tutti gli altri termini di Fourier dello spettro
sono mediamente nulli, perche'
variano periodicamente in modo simmetrico rispetto a zero.
6) Per convincersi che compaiono solo i moduli quadri delle componenti di
Fourier dei campi
e' piu' semplice procedere a ritroso, scrivere cioe'
E(r,t) in termini di integrali di Fourier e sviluppare tutti i prodotti.
Trovi allora prodotti del tipo:
E*(-k,-om) *E(k,om), se fai l'ipotesi che il campo E(r,t) sia reale allora
E*(-k,-om)=E(k,om)
ed ecco spiegato il modulo quadrato della componente di Fourier.
Esiste poi un teorema che aiuta a conoscere lo spettro di Fourier da E(x,t)
si chiama
teorema di Wiener Kintchine e ti garantisce che la trasformata di Fouriere
della funzione
di correlazione E*(x,0)E(x,t) uguaglia esattamente la densita' spettrale in
frequenza, quella
che nel caso del campo elettromagnetico abbiamo potuto esprimere con i
quadrati delle
componenti di E. Questa relazione si generalizza al caso quantistico.
7) Siccome e' possibile filtrare la luce con prismi che ne separino le
frequenzae i fisici si accorsero
presto che l'energia relativa alle componenti di frequenza della luce
contenute in uno stretto intervallo,
era data dal modulo quadro del valore delle componenti di Fourier di
quell'intervallo moltiplicate
per l'ampiezza dell'intervallo. Allora siccome la luce divisa in frequenze
si era guadagnata il
simpatico nome di spettro (oltre a quello di iride dei tempi di Newton)
questo divenne poi il
nome per il modulo quadro delle componenti di Fourire del campo.
8) Se studi l'energia nel dominio del tempo e' un conto se studi il campo
nel dominio del tempo
e' un'altro conto, esiste un nesso fra i due conti che e' dato appunto dal
modo in cui l'energia
e' associata con l'intensita' del campo ed e' quello che ho cercato di
spiegare nei sette punti
che qui precedono. Potresti obiettare che se A(t0 e' periodica hai uno
spettro non continuo
(anche se formato da un'infinita' numerabile di componenti di frequenza e
che se e'
monocromatica avrai una delta di Dirac.
9) Questo e' vero. Pero' l'energia dello spettro la calcoli comunque dal
modulo quadro dell'onda
e torna proprio uguale, in media al valor medio del modulo quadro del campo
in rappresentazione
complessa. Il completamento di un segnale finito ad un segnale periodico e'
un trucco di cui
puoi fare a meno usando le trasformate di Fourier. Trovi in questo modo,
anche se dal punto di
vista matematico potrebbe essere un'eresia, che la trasformata di Fourier di
un segnale periodico
ha componenti non nulle solo per un insieme discreto di frequenze. Dunque la
serie di Fourier
e' inclusa nella trasformata. Il problema principale che avevo con le
trasformate di Fourier
rispetto alle serie era piu' o meno quello che avevo con il calcolo
integrale. La somma di infiniti
infinitesimi e' diversa da zero. Inoltre la somma di infinite funzioni
periodiche non e' una funzione
periodica.
non e' difficilissimo da capire: basta sommare due funzioni con periodi
incommensurabili per
avere una funzione aperiodica. Il procedimento con il quale un integrale di
funzioni puo' essere
approssimato con somme di Riemann che convergono ad una qualunque funzione,
comprese
funzioni limitate nel tempo, e' un poco piu' difficile da capire ma quello
che e' la chiave di volta
(non di Volta) della situazione e' che man mano che la somma di Riemann
viene raffinata
l'ampiezza della piu' grande funzione periodica viene ridotta.
E*(-k,-om) = E(k,om)
contribuiscono
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Received on Sat Jul 31 2004 - 00:11:28 CEST