Ciao, per vostra sfortuna ha un pochino di tempo. :-)
Dato che, al momento in cui scrivo, non ho visto risposte
molto utili (ma sono sempre in ritardo di almeno un giorno),
ci provo io...
[riccardo ferraro:]
>C'e' qlcosa che non mi e' chiaro, forse al solito xche' ho letto
>spiegazioni troppo semplificate.
Probabile.
>Allora, due fotoni vengono emessi con polarizzazioni uguali.
Il "paradosso" nasce dal fatto che quanto sopra non e' vero.
Provo a spiegare un po' in cosa consiste l'EPR. Non so molto
di QED, quindi non garantisco che quello che scrivero` sui
fotoni sia accurato. In particolare, li trattero` come
distinguibili e non so se sia corretto, anche se di solito
hanno energie diverse.
Come si puo` descrivere la polarizzazione di un fotone? Si
potrebbe pensare di usare un semplice numero: l'angolo di
polarizzazione (0 gradi = orizzontale, 90 gradi =
verticale...). In effetti cio` sarebbe un po' troppo semplice
per varie ragioni; per esempio, in questo modo non si
potrebbe rappresentare la polarizzazione elicoidale. Poi
manca l'informazione sulla fase (che varia nel tempo a
parita` di posizione, naturalmente). Si possono usare allora
due numeri complessi {a,b} che rappresentano componenti
ortogonali. Nel caso della polarizzazione semplice,
rappresentabile con un angolo alfa, la coppia vale
{cos(alfa),sin(alfa)}. Per esempio, {1,0} rappresenta la
polarizzazione orizzontale, {0,1} quella verticale, {r,r}
(con r=sqrt(2)/2) quella a 45 gradi. Ho scritto {r,r} invece
di {1,1} o {1/2,1/2} perche', per varie ragioni su cui non mi
soffermo, voglio che |a|^2+|b|^2=1 (ho messo il segno di
modulo perche' sono numeri complessi). Ma perche' i numeri
devono essere complessi? Per esempio, {r,ir} (con i=unita'
immaginaria) mi da' una polarizzazione elicoidale. Comunque,
nel resto del discorso usero` solo numeri reali.
Ora arriva la meccanica quantistica. Che succede se tentiamo
di misurare la polarizzazione di un fotone nello stato {a,b}?
Si puo` farlo con un fotorivelatore con davanti un filtro
polarizzatore, orientato diciamo in orizzontale. Si sa che un
filtro del genere fa passare i fotoni {1,0} e blocca quelli
{0,1}. E nel caso generale {a,b}? Con probabilita` |a|^2
passera` un fotone (che si trovera` polarizzato a forza nello
stato {1,0}, o piu' esattamente {a/|a|,0}; si chiama
"collasso della funzione d'onda indotto dal processo di
misura"); con probabilita` |b|^2 (=1-|a|^2) non passera`
nulla. Questo e` cio` che si osserva e la MQ e` stata ideata
basandosi (anche) su esperimenti di questo tipo. Diciamo,
semplificando un po', che in MQ se si realizza un esperimento
atto a distinguere tra vari stati quantistici S1, S2, S3...
(ortogonali, ma non in senso geometrico) di un sistema, e il
sistema e` in uno stato che e` una combinazione lineare di
quegli stati (a1S1+a2S2+a3S3...), il sistema verra` rivelato
in uno di quegli stati Sn con probabilita` pari al quadrato
del modulo del coefficiente relativo, cioe` |an|^2; dopo la
misura il sistema di trovera` nello stato Sn e ulteriori
misure non faranno che confermarlo (dando sempre Sn con
probabilita` 1). Naturalmente dovrei parlare di autostati
degeneri, proiezioni su sottospazi, etc, ma come ho detto sto
semplificando. Nel nostro caso, polarizzazione orizzontale e
verticale sono stati quantistici ortogonali (e ripeto che non
e' una questione di geometria). Qualunque polarizzazione puo`
essere vista come una combinazionbe lineare di quei due
stati: {a,b}=a{1,0}+b{0,1}. Se chiamo H e V le polarizzazioni
orizzontale e verticale (H={1,0}, V={0,1}), posso scrivere
{a,b}=aH+bV. Intendiamoci: non c'e` distinzione, in questo
caso, tra stati "semplici" (H e V) e "sovrapposti": cambiando
la scelta degli assi, il nostro {a,b} potrebbe divenire
{1,0}.
E se i fotoni sono due? Occorreranno due vettori, {a,b} e
{c,d}, giusto? No; siamo in MQ e quindi occorrera` un vettore
prodotto dei due: {ac,ad,bc,bd}. Perche'? Ma per il principio
sopra menzionato: se cerco di misurare la polarizzazione dei
due fotoni, posso ottenere quattro risultati: HH, HV, VH, VV.
La probabilita` di ottenere HH corrisponde, "ovviamente",
al prodotto della probabilita` di trovare H per il primo
fotone e H anche per il secondo; ecco perche' ho scritto i
coefficienti (ac...) in quel modo.
Ma perche' ho scritto quell'"ovviamente" tra virgolette?
Perche' in effetti non e` tanto ovvio, anzi, diciamo pure che
puo` tranquillamente essere falso. Perche? Semplice: il
nostro sistema di due fotoni puo` trovarsi nello stato
HH={1,0,0,0}? Certamente si'. Puo` trovarsi nello stato
HV={0,1,0,0}? In generale, si', e altrettanto vale per
VH={0,0,1,0} e VV={0,0,0,1}. Esiste un principio della MQ che
dice che una combinazione lineare di stati possibili e` uno
stato possibile; in altre parole, qualunque stato
{a,b,c,d}=aHH+bHV+cVH+dVV e` possibile, *non* solo quelli
ottenibili con il prodotto di due vettori. Che significato
fisico hanno questi stati?
Vediamo un esempio, che e`�poi quello che ci interessa:
S={r,0,0,r}, con r=sqrt(2)/2. Che significa? Che in seguito a
misura, con probabilita` 1/2 (=|r|^2) si ottiene HH e con
probabilita` 1/2 si ottiene VV. La probabilita` di ottenere
HV o VH e` zero. Questo e` uno stato "entangled", ossia
"intrecciato", nel senso che le probabilita` di trovare l'uno
o l'altro fotone in un certo stato e` correlata all'esito
della misura sull'altro fotone.
In se', questo fatto non e` stupefacente. Basta pensare ad un
atomo di idrogeno solo soletto in una scatola. A priori il
protone potrebbe essere ovunque, l'elettrone pure, ma
ovviamente chiunque si aspetta che, se il protone viene
rivelato in una certa zona, l'elettrone acquisti
improvvisamente un'elevata probabilita` di essere proprio da
quelle parti. Il fatto che i due fotoni possano essere anche
parecchio distanti non aggiunge molto; metto due monete in
due scatole separate, o entrambe con la testa in alto, o
entrambe con la croce in alto. Poi posso allontanare le
scatole anche di kilometri e se un mio amico, che sa cos'ho
fatto, apre una scatola, subito sapra` cosa c'e` nell'altra.
Le probabilita` di ignoranza sono spesso correlate; ci siamo
abituati.
Il problema e` che qui siamo in MQ e le probabilita` sono
intrinseche, non di ignoranza. Non e` che i due fotoni sono
emessi con una certa polarizzazione, uguale ma sconosciuta;
sono proprio emessi senza una polarizzazione definita.
Cominciamo con il verificare che lo stato {r,0,0,r} e`
simmetrico. Supponiamo di ruotare i rivelatori di un certo
angolo alfa. Potrei calcolare direttamente cosa accade, ma la
cosa piu' semplice e` ricondursi al caso precedente con un
cambiamento di assi. Se ho un fotone {1,0} (per una certa
scelta di assi) e decido di passare ad altri assi, angolati
di alfa rispetto ai precedenti, nel nuovo riferimento il
fotone sara` {cos(alfa),sin(alfa)}; niente di etereo, e`
trigonometria spicciola (rotazione di vettori nel piano).
E se abbiamo due fotoni? Per esempio HH={1,0,0,0}?
Per brevita` pongo c=cos(alfa) e s=sin(alfa).
Dato che {1,0,0,0}={1,0}{1,0} (e` un vettore ottenibile come
prodotto di vettori indipendenti) e {1,0} => {c,s}:
{1,0,0,0} = {1,0}{1,0} => {c,s}{c,s} = {cc,cs,cs,ss}
Vediamo tutti i casi di base, tenuto conto che
{1,0} => {c,s} e {0,1} => {-s,c}:
{1,0,0,0} = {1,0}{1,0} => {c,s}{c,s} = {cc,cs,cs,ss}
{0,1,0,0} = {1,0}{0,1} => {c,s}{-s,c} = {-cs,cc,-ss,cs}
{0,0,1,0} = {0,1}{1,0} => {-s,c}{c,s} = {-cs,-ss,cc,cs}
{0,0,0,1} = {0,1}{0,1} => {-s,c}{-s,c} = {ss,-cs,-cs,cc}
Bene. Ora veniamo al vettore che ci interessa: {r,0,0,r}.
Sfruttando la linearita` del tutto otteniamo:
{r,0,0,r} = r({1,0,0,0}+{0,0,0,1}) =>
=> r({cc,cs,cs,ss}+{ss,-cs,-cs,cc}) =
= r{cc+ss,cs-cs,cs-cs,cc+ss} = r{1,0,0,1} = {r,0,0,r}
Quindi lo stato {r,0,0,r} non cambia per rotazione di assi: i
fotoni *non* *hanno* una polarizzazione definita prima che la
polarizzazione di uno di essi venga misurata. In quel
momento, per collasso, l'altro fotone assume la stessa
polarizzazione misurata per l'altro (che e` completamente
casuale).
Quindi, in MQ, non si puo` dire che due fotoni hanno entrambi
polarizzazione orizzontale e sono intrecciati: le due cose
si escludono a vicenda. Entrambi H significa {1,0,0,0};
intrecciati significa {r,0,0,r}.
Si puo` obiettare che magari lo stato {r,0,0,r} non esiste
realmente e che la sorgente di fotoni in realta` emette una
coppie di fotoni con polarizzazioni casuali, ma uguali a due
a due. Ci accorgeremmo della differenza rispetto ad uno stato
realmente intrecciato? Si', ce ne accorgeremmo. Quest'angolo
di polarizzazione casuale sarebbe quasi sempre abbastanza
diverso da quello, del tutto arbitrario, scelto per i
rivelatori. Avremmo in sostanza uno stato del tipo
{c,s}{c,s}={cc,cs,cs,ss}, cha ha probabilita` non nulla pari
a 2(cs)^2 di dare luogo a una rivelazione di polarizzazioni
differenti per i due fotoni. Questo invece non accade mai per
{r,0,0,r}.
Ciao
Paolo Russo
Received on Sat Jul 31 2004 - 19:58:10 CEST
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