gianfrancois ha scritto:
> Devo capire bene cosa accade ad un campo elettromagnetico classico e
> quantistico!
> ...
> Considerando note le sorgenti (cambia qualcosa e come se le prendo
> uguale a zero = campo libero?), dalle equazioni di Maxwell ottengo due
> equazioni d'onda, una per il potenziale scalare elettrostatico ed una
> per il potenziale vettore magnetico, che unifico nella formula
> ("covariante a vista"):
>
> d(nu)F(munu)=j(mu)
Non capisco perche' prima parli di potenziali e poiscrivi le equazioni
per F.
Inizialmente ho quattro gradi di libert� (le componenti del
quadri-vettore).
> So dalla teoria dei sistemi (Rouch�-Capelli!) che per risolvere il
> problema esattamente ho bisogno di quattro equazioni.
Teoria dei sistemi???
Non sarai mica un ingegnere?
> ...
> Ma contemporaneamente so che i gradi di libert� effettivi sono di meno
> (ad esempio due, quelli trasversi, nel caso libero).
> ...
> Altra domanda: cosa succede nel caso "classico" quando ottengo due
> gradi di libert� solo imponendo la gauge di Coulomb (divA=0, con A
> tri-vettore)? Non erano quattri i gradi di libert�? Meno una equazione
> scalare... non fa tre?!?! Qual � l'altro parametro libero, se c'�?!
> Oppure, come l'ho eliminato?
Va bene, ho capito...
Sara' meglio ricominciare da capo. Anche perche' dubito che le
risposte che hai avuto abbiano chiarito qualcosa...
Mi limito strettamente all'ambito classico, per evitare addizionali
casini.
La formulazione covariante non aggiunge e non toglie niente: per
questo problema e' solo una questione di notazioni, per cui non la
uso.
Basta pensare a campi nel vuoto, perche' il problema sta tutto li'.
Puoi trattare la questione o dal punto di vista dei campi o dai
potenziali.
Cominciamo coi campi.
Allora hai le eq di Maxwell:
rot E = - dB/dt,
rot B = dE/dt
div E = 0
div B = 0.
(per semplicita' indico le derivate parziali con d, tanto non ci sono
pericoli).
Prima osservazione: terza e quarta equazione sono conseguenza delle
altre due.
Non e' proprio esatto: le prime due dicono che le due divergenze sono
costanti, non che sono nulle.
Ma se metti le giuste condizioni a un certo t, oppure se ti limiti a
soluzioni monocromatiche, allora hai senz'altro divergenze nulle.
Occupiamoci quindi solo delle prime due, ma teniamo presente che
l'annullamento delle divergenze gia' fornisce due equazioni scalari,
quindi lascia indipendenti 4 componenti delle 6 originarie.
Eliminando B ottieni per E l'eq. di d'Alembert:
DE = 0
dove ho indicato con D quello che volgarmente si chiama
"quadratello" (a me questo non piace).
Lo stesso per B, ma non serve., in quanto B si esprime mediante E
dalla prima equazione.
Gia' da qui vedi che ci sono _due_ gradi di liberta', nel senso che
ci sono _due_ componenti di E indipendenti, da cui ricavi tutto il
resto.
Se ci limitiamo a onde piane (oltre che monocromatiche) allora div E
= 0 dive che l'onda e' trasversale, e puoi assegnare in modo
arbitrario e indipendente le due componenti lungo due direzioni
(poniamo x e y, se l'onda viaggia lungo z).
A questo punto assegnare due componenti significa soltanto dare
ampiezza e fase di ciascuna, ossia 4 numeri reali.
Pero' i gradi di lib. sono sempre due, per la stessa ragione che vale
in meccanica: se hai un oscill. armonico unidimensionale, hai 1 grado
di liberta', ma per determinare il moto devi dare *due* numeri.
Questo peche' le eq. diff. sono di secondo ordine nel tempo.
Spero che fin qui sia chiaro, e passo ai potenziali.
Introducendo potenziale scalare e vettore:
B = rot A
E = - grad f - dA/dt (f e' il pot. scalare)
la prima e la quarta eq. di Maxwell sono soddisfatte, la seconda e la
terza danno per A, f:
DA + grad(div A + df/dt) = 0 (1)
Df + d(div A + df/dt)/dt = 0 (2)
(puo' darsi che ci sia qualche errore di segno, ma non mi va di
verificare tutto).
Inoltre A, f non sono determinati dai campi, ma resta libera una trasf
di gauge:
A' = A + grad g (3)
f' = f - dg/dt. (4)
Primo: si sfrutta l'inv. di gauge per semplificare le (1), (2), ponendo
div A + df/dt = 0 (5)
(condizione di Lorentz). Cosi' (1), (2) diventano
DA = 0 (1')
Df = 0. (2')
Dopo di cio' resta ancora un'invarianza di gauge, nel senso che puoi
ancora eseguire delle trasf. (3), (4) che lasciano invariate (1'),
(2'), (5), a patto che g soddisfi Dg = 0.
Ora facciamo i conti: le incognite sono 4 (tre componenti di A e poi
f) ma sono legate dalla cond. di L. Poi c'e' liberta' di scelta della
trasf. di gauge, che si puo' sfruttare ad es. per imporre f = 0 *gauge
di Coulomb).
Quindi le componenti indip. sono di nuovo 2.
Naturalmente ogni componente deve soddisfare un'eq. del tipo Df = 0,
ma questa puo' essere risolta per ciascuna componente sepratamente, e
per per le onde piane ti dice solo in che relazione stanno frequenza e
vettore di propagazione.
Mi pare che possa bastare.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sat Jul 24 2004 - 21:17:04 CEST
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