Re: Modello dissipativo quantistico e circuiti RLC

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Wed, 14 Jul 2004 21:24:50 +0200

Davide Venturelli ha scritto:
> guardando un esercizio di mec. quantistica II, per introdurre il
> concetto di coerenza si chiede di mostrare l'equivalenza tra un
> circuito RLC diffipativo e un circuito LC non-dissipativo accoppiato
> ad una line di trasmissione.
Sono trasecolato...
Tu dici di essere al secondo anno. In quale c... di universita' si
pretende di far capire queste cose a studenti del secondo anno?
(Sempre ammesso che le abbiano capite i docenti, perche' quando leggo
certe cose mi vengono sacrosanti dubbi...)

> Il testo comincia con lo scrivere l'hamiltoniana del circuito LC.
> E gi� qui sono un po' scombussolato... qualcuno mi consiglia un testo
> o un link dove guardare per bene l'applicazione della mecc.
> lagrangiana e hamiltoniana ai circuiti?
> In ogni caso.. l'hamiltoniana �
>
> H= eQ^2/2C + TERM -eQV
>
> e il termine "cinetico" TERM dell'hamiltoniana per l'esercizio �
>
> 1/2L (hbar/e)^2 phi^2
>
> dove L � l'induttanza, phi la differenza di fase elettromagnetica ai
> bordi dell'induttanza, nonch� la variabile canonica coniugata a Q.
> E qui sono ancora pi� scombussolato! perch�? se una spiegazione �
> lunga.. dove posso trovare un esempio simile?
> Cio�... come fa un flusso magnetico a diventare una fase ai bordi?
Cose 'e pazzi :-<

Per cominciare: una lagrangiana scritta

La = (1/2) LI^2 - Q^2/2C

la capiresti? (ho scritto "La" per la lagrangiana, per distinguerla
dall'induttanza).
Q e' la coordinata, I la sua derivata rispetto al tempo.

DLa/DI = LI, DL/DQ = -Q/C,

per cui l'eq. di Lagrange e'

L dI/dt = -Q/C.

Ora calcola il momento coniugato: P = DLa/DI = LI = Phi (flusso
concatenato con l'induttanza.
Quindi

H = Phi*I - La = Phi^2/2L + Q^2/2C

(non ho capito che ci facciano le "e", ne' il termine eQV).

E fin qui era facile...

Ora la fase: si tratta della fase di Aharonov-Bohm.
Il problema e' che non ho idea di come ti sia stata presentata la
m.q., per cui non so come spiegarti la cosa.
Potremmo anche accontentarci di una definizione formale:

phi = (e/hbar) Phi

e quindi usare phi in luogo di Phi in H.

Ti dico in piu' solo questo: se hai un campo magnetico e una
particella che ci viaggia attraverso, la differenza di fase della sua
funzione d'onda su due possibili percorsi tra gli stessi punti e'
appunto la phi di cui sopra, se Phi e' il flusso del campo concatenato
con la linea chiusa formata dai due percorsi.

Ma fino a questo punto non si capisce perche' tirare in ballo phi...

> ...
> Dopo parla di linea di trasmissione semi-infinita che pu� essere
> descritta da una "teoria dei campi a 1+1 dimensione"... e anche qua
> sono un po' nel pallone anche se pi� o meno ho capito l'idea.
Va bene, vuole dire soltanto che tanto V (diff. di potenziale) quanto
I (corrente) sono funzioni di due variabili: x e t. E che soddisfano
un'equazione delle onde:

D^2 V/Dx^2 = 1/c^2 D^2 V/Dt^2 (nel vuoto).

Poi dovresti dimostrare che una linea semi-infinita equivale,
all'estremo finito, a una resistenza pari alla sua impedenza
caratteristica...

> Il prof mi ha fortemente consigliato di capire la teoria dietro a
> questo esercizio e se avete un qualche riferimento bibliografico
> sull'argomento vi sar� grato!
I casi sono due: o il prof restituisce lo stipendio, o *spiega lui*
tutto quello che occorre. E' pagato per questo, mi pare!

P.S. Mi farebbe molto piacere se leggesse quanto ho scritto, e ancor
di piu' se avesse voglia di replicare.
                                

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Wed Jul 14 2004 - 21:24:50 CEST