Re: Simmetrie e grandezze conservate in MQ

From: Paolo Pani <npaniREMOVEPLS_at_tiscali.it>
Date: Sat, 03 Jul 2004 08:07:37 GMT

Grazie per la risposta.

> Ma per cominciare, che cosa saidell'analoga situazione in meccanica
> classica?

Non � che sia informatissimo, ho visto un po' di formalismo hamiltoniano e
le parentesi di Poisson, coumnque, magari senza utilizzare concetti
matematici come i gruppi, diciamo che ero a conoscenza della connessione
presente fra invariaziane e costante del moto. Poi, come mi � parso mi abbia
anche risposto pi� avanti, penso che questa relazione sia ancora + forte in
mq, giusto? Se non altro perch� alle classiche conservazioni di energia,
impulso e mom angolare ne sono presenti anche altre che non hanno analogo
classico (come la parit� appunto, o la simmetria per scambi di particelle in
sistema a + di 1 particella)

> Esiste un teorema (di Stone) che assicura che in tal caso esiste *un*
> op. autoaggiunto G tale che U(a) = exp(iaG/h).
> Quella che tu conosci e' la dimostrazione, immagino fatta come, ma non
> obietto, che se H e' invariante per il gruppo allora G commuta con H.
>

Beh effettivamente quella che so non deve essere molto corretta formalmente
come dimostrazione, tanto che non mi era neanche stata presentata come
teorema di Stone..

> > Per cui, se non sbaglio, ad ogni gruppo di simmetria dovrebbe essere
> > associato un operatore che commuta con H e quindi deve essere
> > associato un numero quantico conservato.
> Beh, "numero quantico" in senso lato, visto che gli autovalori di G
> potrebbero anche essere continui: vedi per es. l'impulso, connesso
> all'invarianza per traslazioni.

Si vero, stavo usando num quantico come sinonimo di autovalore, cosa non
propria corretta in effetti...

>
> Ti faccio pero' notare che in m.q. c'e' una novita' rispetto alla
> m.classica.
> Tutto quello che s'e' detto fin qui, "mutatis mutandis", vale anche
> nel caso classico. "Mutandis", perche' non parlerai di op. unitari, ma
> di flussi di fase; la commutazione diventera' parentesi di Poissson
> nulla, ecc.
> Pero' la connessione "invarianza <--> costante del moto" c'e' sempre.
>
> La novita' quantistica e' che esistono c. del motonon legate a gruppi
> d'invarianza come sopra, ma a gruppi discreti.
> L'esempio canonico sono le riflessioni (alias "inversione spaziale").
> Dato che l'operatore I d'inversione spaziale oltre a essere unitario
> e' anche autoaggiunto, e' lui stesso una costante del moto.
> In questa veste si chiama "parita'", e si parla infatti di
> "conservazione della parita'".
>
>

Grazie, un'ultima cosa: per quanto riguarda lo spin (che ho visto definito
come il numero quantico associato al gruppo di simmetria SU(2) ) le
trasformazioni in esame son proprio gli elementi del gruppo giusto? Cio� le
trasf che lasciano invariata la norma di un vettore in uno spazio vettoriale
complesso a 2 dimensioni?
Received on Sat Jul 03 2004 - 10:07:37 CEST