Re: Simmetrie e grandezze conservate in MQ

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Fri, 02 Jul 2004 21:02:55 +0200

Paolo Pani ha scritto:
> Salve, ho un problema che non riesco a risolvere anche se penso sia
> abbastanza semplice :(
> Il problema riguarda le relazioni fra gruppi di simmetria e grandezze
> conservate.
Beh, semplicissimo non e', spec. se uno vuol fare discorsi un minimo
puliti...
Ma per cominciare, che cosa saidell'analoga situazione in meccanica
classica?

> Ho visto come si pu� dimostrare che se un sistema � invariante per una
> certa trasformazione infinitesima (tipo U=e^(i/h*daG) allora il
> generatore G commuta con l'hamiltoniano.
Immagino che quel "da" sia il parametro "infinitesimo". Va bene...
Pero' guarda che avresti dovuto dire che esiste un gruppo d'invarianza
(di Lie, a un parametro) rappresentato dalla famiglia di op. unitari U(a).
Esiste un teorema (di Stone) che assicura che in tal caso esiste *un*
op. autoaggiunto G tale che U(a) = exp(iaG/h).
Quella che tu conosci e' la dimostrazione, immagino fatta come, ma non
obietto, che se H e' invariante per il gruppo allora G commuta con H.

> Per cui, se non sbaglio, ad ogni gruppo di simmetria dovrebbe essere
> associato un operatore che commuta con H e quindi deve essere
> associato un numero quantico conservato.
Beh, "numero quantico" in senso lato, visto che gli autovalori di G
potrebbero anche essere continui: vedi per es. l'impulso, connesso
all'invarianza per traslazioni.

> Se non ho ancora detto fesserie volevo sapere se vale il viceversa
> ossia : dato G hermitiano tale che [G,H]=0 ==> G � un generatore di
> trasformazioni per le quali il sistema � invariante.
Certamente: se [H,G] = 0 e se G e' _autoaggiunto_ allora esisteil
gruppo di op. unitari U(a) = exp(iaG/h), che commutano tutti con G.

> ...
> Quindi lhamiltoniano non dovrebbe cambiare nella trasformazione U. E'
> corretto?
Corretto.

Ti faccio pero' notare che in m.q. c'e' una novita' rispetto alla
m.classica.
Tutto quello che s'e' detto fin qui, "mutatis mutandis", vale anche
nel caso classico. "Mutandis", perche' non parlerai di op. unitari, ma
di flussi di fase; la commutazione diventera' parentesi di Poissson
nulla, ecc.
Pero' la connessione "invarianza <--> costante del moto" c'e' sempre.

La novita' quantistica e' che esistono c. del motonon legate a gruppi
d'invarianza come sopra, ma a gruppi discreti.
L'esempio canonico sono le riflessioni (alias "inversione spaziale").
Dato che l'operatore I d'inversione spaziale oltre a essere unitario
e' anche autoaggiunto, e' lui stesso una costante del moto.
In questa veste si chiama "parita'", e si parla infatti di
"conservazione della parita'".
                  

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Fri Jul 02 2004 - 21:02:55 CEST