"Davide Venturelli" wrote:
>...
>Si puo' dimostrare con ragionamenti che coinvolgono la teoria dei
>campi (la dimostrazione � di W. Pauli) che in natura la funzione
>d'onda di un sistema di particelle identiche non puo' che restare
>immutata o cambiare di segno in seguito ad uno scambio di due
>particelle identiche...
Ti hanno gia' menzionato il teorema spin-statistica, che mostra come le
proprieta' di simmetria o antisimmetria della funzione d'onda di un
sistema di particelle identiche sia legata allo spin delle stesse.
Senza richiamare questo risultato della teoria dei campi, si puo' pero'
arrivare a quanto dici sopra con altri ragionamenti, un po' piu'
qualitativi.
Il ragionamento che segue e' riportato dal grande Lev Davidovic Landau
nel libro dedicato alla meccanica quantistica non relativistica
(dovrebbe essere il terzo o il quarto volume della serie), e "mostra"
che la funzione d'onda di particelle identiche deve restare immutata o
cambiare segno per scambio di due particelle, senza pero' legare questa
proprieta' allo spin delle particelle.
Indichiamo con F le funzioni d'onda.
Consideriamo due particelle identiche, e assumiamo valido il principio
di indistinguibilita' delle stesse (e' questa l'assunzione alla base del
ragionamento).
Consideriamo lo stato F(x1,x2).
Le x sono l'insieme delle coordinate spaziali e di spin delle
particelle, 1 e 2 indicano le due particelle.
Se scambiamo le due particelle, gli stati devono essere indistinguibili
per le proprieta' fisiche.
Cio' *non* significa:
F(x1,x2) = F(x2,x1)
Quello che non deve cambiare e' il modulo quadro delle F. Questo vuol
dire allora che le due F differiranno per un fattore di fase, cioe' per
un numero complesso di modulo 1, scrivibile come e^iq (i=unita'
immaginaria, q numero reale):
F(x1,x2) = e^iq * F(x2,x1) (1)
Ora se riscambio una seconda volta le particelle, dovra' accadere la
stessa cosa:
F(x2,x1) = e^iq * F(x1,x2) (2)
Sostituendo al secondo membro della (2):
F(x1,x2) = e^2iq * F(x1,x2)
cioe': e^2iq=1 (ovvio: scambiando due particelle, e poi riscambiandole
ancora, devo ritornare nella stessa funzione d'onda).
Questo vuol dire che e^iq vale 1 oppure -1. E allora, dalla (1), le
possibilita' sono 2:
F(x1,x2) = F(x2,x1)
oppure:
F(x1,x2) = -F(x2,x1)
Un'altra osservazione e' doverosa prima di concludere.
F e' uno stato del sistema delle due particelle, e si e' visto che deve
essere simmetrico o antisimmetrico per scambio.
Lo stesso varra' per un altro qualsivoglia stato, G.
La domanda e': e' possibile che per le stesse due particelle, vi sia uno
stato F simmetrico e uno G antisimmetrico?
La risposta e' no! Se cio' accadesse, lo stato dato da una generica
combinazione dei due stati F e G non sarebbe ne' simmetrico ne'
antisimmetrico per scambio, e cio' non e' possibile (da quanto visto,
*ogni* stato di due particelle indistinguibili deve essere simmetrico o
antisimmetrico).
Conclusione: un sistema di (due) particelle identiche ammette funzioni
d'onda o (tutte) simmetriche o (tutte) antisimmetriche rispetto allo
scambio di particelle.
Il risultato si generalizza facilmente a sistemi di piu' di due
particelle.
Saluti
Woodridge
P.S.: non era chiaro il tuo livello di studi, ho cercato di spendere
qualche parola piu' del necessario su qualcosa, ho dato per scontato
qualche altra cosa... mi scuso se ho ecceduto in un senso o nell'altro,
ma nel secondo caso scrivi se qualcosa non e' chiaro.
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Received on Mon May 31 2004 - 11:54:31 CEST