Re: libero arbitrio?

From: thks <throby2002_at_yahoo.it>
Date: 21 May 2004 12:45:29 -0700

"Giacomo Ciani" <giacomo.ciani_at_tiscalinet.it> wrote in message news:<2h69rsF9b5hlU1_at_uni-berlin.de>...
> > Ciao, la continuit� che di solito si intende � quella matematica delle
> > funzioni, che grosso modo significa che una funzione "non ha scalini".
>
> Che, a meno di sviste banali che non mi pare di aver fatto, � quella che ho
> dato io "a parole", giusto?

S�
>
[snip]
> Questo non lo sapevo... o forse lo sapevo e me ne sono dimenticato!

E' un risultato elementare della teoria dei problemi di Cauchy, di
solito si introduce in Analisi II. E si chiama, per l'appunto,
teorema della dipendenza continua dalle condizioni iniziali.

>
>
> D'accordo, la definizione di sistema caotico a questo punto mi � chiara. Ma,
> da quel che dici, i sistemi caotici hanno comunque dipendenza continua delle
> soluzioni dalle condizioni iniziali, cio� vale che data una soluzione Q(t) e
> la sua condizione iniziale Q(0), per ogni intorno I(0) di Q(0) si pu� sempre
> individuare un intorno I(t) di Q(t) all'interno del quale si troveranno
> tutte le soluzioni originate da condizioni iniziali contenute in I(0). Sto
> commettendo qualche errore?

A meno di mie sviste, :), no.

> Se la risposta � no, la domanda successiva �: non esistono sistemi per cui
> tale propriet� non valga? E quando si paral di effetto farfalla, si paral di
> dipendenza esponenziale o (come avevo immaginato io) di dipendenza non
> continua?
>

Si parla di dipendenza esponenziale. Le funzioni che si
usano in dinamica classica sono almeno di classe C^1 (o, quasi sempre,
di classe C^infinito) e quindi dotate di
appropriate propriet� che mi danno i risultati di cui sopra. Poi �
chiaro che volendo andare a inventarsi apposta una dipendenza non continua
basta non soddisfare le ipotesi sopra, ma si entra poi nell'artificiale
e si esce rapidamente dai risultati che conosco :)
Credo che comunque esempi esistano, ad es. prova a cercare sugli
shift di Bernoulli e sui biliardi di anosov; ma non sono molto competente da
questo punto di vista.
Di modelli fisici classici non C^1 proprio non me ne vengono in mente.
Forse, l'unico esempio fisico che mi viene in mente ora come ora
� l'equazione di Langevin, che contiene un termine deltiforme.
Ma la delta di Dirac non � neanche una funzione ;) Purtroppo, quindi,
non so risponderti su quest'ultimo punto. Ma tieni conto che
gi� sappiamo cos� poco sui sistemi caotici "well-behaved",
figurati andando a complicare il tutto: credo che ci sia
un "vuoto" teorico non da poco.

Uno dei risultati pi� famosi della teoria del caos � il teorema
KAM (Kolmogorov - Arnold - Moser), che prova l'esistenza di
domini ordinati (con orbite regolari) in generici sistemi dinamici,
in forma di tori. Questo � provato per casi sufficientemente
differenziabili, cio� C^333 (con 333 derivate!) (per rigor di
cronaca, a dir la verit� recentemente � stato provato anche per sistemi
differenziabili poche volte... peccato :)).

Ciao
T.H.
Received on Fri May 21 2004 - 21:45:29 CEST