Minimizzazione: errori associati ai parametri e Minuit

From: popinga <p4w_at_libero.it>
Date: Thu, 26 May 2011 09:07:38 -0700 (PDT)

Si tratta di una problema pi� di statistica che altro.

Intanto definiamo il problema fisico, che � un problema comunissimo:
Ho un set di dati sperimentali, N punti (Y,X), dove i valori Y sono
affetti da errori noti (mentre le X si possono assumere privi di
errori).
E poi ho un modello teorico che descrive y= f(x; a,b), dove a e b
sono i parametri da stimare (diciamo 2 parametri).

A questo punto l'approccio standard per stimare p e q � quello di fare
un "fit", cio� trovare qual � il valore
della coppia (A,B) per ci la funzione f(x) riproduce meglio i dati
osservati. Un criterio popolare � quello dei minimi quadrati, cio� la
miglior stima (A,B) � quella per cui il "chi-quadro" (Chi2)
corrispondente assume valore minimo.

Siccome f(x; a,b) non � una semplice funzione analitica, ma �
costruita in maniera molto complessa, allora ho stimato i parametri
usando MINUIT, un programma che minizza una generica funzione, detta
"FCN", restituendo i parametri (nel nostro caso A e B) per cui la FCN
� minima. MINUIT restituisce anche gli errori associati a questa
stima, dA e dB. E volendo anche la loro (matrice di) correlazione.

Ora veniamo al mio dubbio.
A quanto ho letto in giro, perch� gli errori sui parametri assumano
corretto il significato statistico (ad esempio dA e dB devono essere
corrispondenti a una sigma, cio� associati al 68% di probabilit�
etcetc.)
� sufficiente (e necessario) che la FCN corrisponda al Chi-quadro del
problema.

Il fatto � che, a quanto ne so, gli errori dipendono anche dal numero
di *gradi di libert�* del problema
(in sostanza dato dal il numero di punti usati per calcolare il
Chi2).
Per capirsi, se dovessi fare il fit e cercare gli errori "a
mano" (cio� senza Minuit) definirei gli intervalli di incertezza di A
e B come i ranges di possibili valori (per A e B) per i quali il Chi2
� inferiore a un valore critico "Chi2Cut", dove questo Chi2Cut dato
dalla condizione "P-value" = 68%. Il calcolo di questo valore critico
(in pratica � la coda dell'integrale della distribuzione statistica
del chi-quadro) *dipende* dal numero di gradi di libert� del problema.
(Nota: forse ho confuso P con 1-P, ma non � questo il problema).

Ma tornando al calcolo Minuit, qui ho un programma che minimizza un
Chi-quadro senza conoscere il numero di gradi di libert� del problema
(perch� non gli vengono comunicati).
Come � possibile che calcoli correttamente gli errori sui parametri??

D'altra parte va detto Minuit calcola la Chi-quadro per tutti i valori
di A e B. Cio� usa la "forma" della funzione
Chi2=Chi2(A,B) attorno al minimo (sar� una funzione a forma di buca)
per determinare l'intervallo di incertezza.

Per cui la mia domanda, in definitiva, �:
-E' possibile conoscenzo la "forma" del Chi-quadro in funzione di A e
B, ottenere le incertezze associate dA e dB *senza* conoscere i gradi
di libert� con cui il Chi-quadro � stato calcolato??

E nello specifico:
-Posso fidarmi degli errori stimati da Minuit?
Received on Thu May 26 2011 - 18:07:38 CEST