Re: Assetto di un cubo di legno galleggiante

From: Andrea <overmanLEVAMI_at_TOGLIMIlibero.it>
Date: Fri, 14 May 2004 10:43:38 GMT

"Giacomo Ciani" <giacomo.ciani_at_tiscalinet.it> ha scritto nel messaggio
news:2ghmchF2uc6lU1_at_uni-berlin.de...

>
> Non ti seguo: la minima energia potenziale del sistema di ottiene per
> baricentro totale pi� basso possibile, e su questo non ci piove.

Ma cosa intendi per baricentro totale? Il centro di massa della bacchetta,
cio� il suo centro geometrico? Se � cos� non devi minimizzarne la quota,
altrimenti dovrebbe andare a fondo! Io l'ho impostata cos�: abbiamo due
gradi di libert�, la quota rispetto all'acqua e l'angolo di inclinazione.
Visto che all'equilibrio il volume immerso � costante, possiamo ridurci a 1
g.d.l. considerando solo l'angolo di rotazione, da verticale a orizzontale,
e imponendo che ogni volta il volume immerso sia sempre lo stesso. Allora la
spinta di Archimede � una costante, e come tale ammette potenziale
proporzionale alla quota del proprio centro di forze, cio� il centro della
parte immersa.
L'energia potenziale totale � allora: U = m*g*yG - m*g*yA
dove G e A sono baricentro totale e baricentro della parte immersa. Ecco che
quindi devi minimizzare il valore yG-yA.


Se proprio
> vuoi possimo parlare di un'imprecisione, in quanto eprch� la bacchetta
> galleggi in verticale non � necessario essere nel minimo assoluto di
energia
> potenziale, ma basterebbe un eventuale minimo relativo.

S�, anche se mi pare evidente che le uniche posizioni possibili sono solo
quella verticale e orizzontale, che necessariamente sono una stabile e
l'altra instabile (perch� una funzione derivabile non pu� avere due minimi
senza avere un massimo fra i due) di conseguenza c'� un solo minimo, che �
sia relativo che assoluto.

> A parte questo,
> per�, continuo a sotenere che la minimizzazione dell'energia potenziale
> dell'intero sistema sia l'unica cosa che serve per stabilire se c'�
> equlibrio o no.

S�, basta essere d'accordo su quale sia l'espressione di U!

> Non so sei sia vera la condizione di "minimizzazione della distanza
> verticale tra i due baricentri", am se lo fosse sta sicuro che sarebbe
> equivalente alla minimizzazione dell'altezza del baricentro totale.

Vedi sopra, a me non sembra giusto...


> > Avevo fatto il conto tempo fa, dell'energia potenziale di una bacchetta
> > verticale e di una orizzontale, e mi veniva che per bacchette molto
dense
> > era stabile la posizione verticale... Eventualmente ricontrollo...
>
> Se si parla di un minimo relativo, che non so se esiste, non ho niente da
> obiettare. Se per� si parla del minimo assoluto di energia potenziale del
> sistema, non riesco a vedere come ci� possa essere vero... immaginiamo una
> bacchetta "virtuale" [...]>

Il tuo discorso vale se minimizzi yG, ma qui bisogna minimizzare yG-yA.

Considera ad esempio che per L<<R la bacchetta diventa una "chiatta" che
ovviamente galleggia con l'asse verticale, come tutti sapranno
dall'esperienza. Bisogna vedere se esistono soluzioni con L>R.

Ho fatto un po' di conti, e mi risulta questo:
per una bacchetta di densit� ro (normalizzata rispetto a quella del
liquido), massa M, raggio R e lunghezza L

In verticale abbiamo:
Uvert=MgL(1-ro)/2

Mentre in orizzontale:
Uorizz=2Mg(himm*(2R-himm))^(3/2)/(3pi*ro*R^2)

con himm=altezza della calotta circolare immersa, che si determina in
funzione di ro e R dalla formula:
-Arcsin(1-himm/R)+(himm/R-1)*sqrt(himm/R*(2-himm/R)) + pi/2 = pi*ro.

Ad esempio se ro=0.8 => himm/R=1.49
allora la bacchetta � stabile in verticale se L/R<1.75
Considerando che per L<2R la bacchetta � pi� larga che alta effettivamente
un'asta propriamente detta galleggia orizzontale.

Ciao
Andrea
Received on Fri May 14 2004 - 12:43:38 CEST