Luca ha scritto:
> [...]
> u_n ed u_x sono i versori e sigma � la superficie. Ma da dove arrivare la
> differenza E(c) - E(0)? ab presumo che sia int(d(sigma)) giusto? Ossia
> l'area della faccia del cubo. Ma non sono due le faccie del cubo
> perpendicolari? La superficie non dovrebbe essere doppia in tal caso?
> Sono sicuro che sar� una stupidaggine, ma proprio non mi entra. Ci ha
> provato anche la mia povera prof a spiegarmelo, ma proprio non mi entra.
> Grazie mille.
In preda ad euforia logorroica da newbie (come poster) del ng, provo a
spiegartelo io. Il ragionamento che fai quando dici che "sono interessate
solo due facce del cubo" � corretto; questo perch� E ha la direzione di
u_x e il prodotto scalare che entra in gioco nel calcolo del flusso � 0
per le facce non perpendicolari ad x! Torneremo a parlarne pi� avanti.
Approfitto per notare che se di cubo si tratta allora a = b.
Il flusso � definito da un integrale sulla superficie chiusa del cubo, che
si riduce ad un integrale sulla faccia che nel tuo sistema di riferimento
� all'ascissa 0 e sulla faccia all'ascissa che tu chiami C ma che
evidentemente � uguale ad a, perch� un cubo ha tutti gli spigoli uguali.
Facciamo che il tuo cubo � un parallelepipedo generico, il ragionamento
non cambia.
Allora puoi scrivere
int(E.u_n*dS) = int(E.u_n*dS)_faccia0 + int(E.u_n*dS)_facciaC
dove con . indico il prodotto scalare, che � un operazione fra vettori
come ben sai (che non si pu� confondere con la moltiplicazione!). Il
versore u_n �, come sai, il versore normale alla superficie chiusa uscente
dal volume racchiuso, e dipender� quindi da ciascun punto: ogni elementino
dS avr� il suo u_n! In questo caso, per�, � chiaro che *per ciascuna
faccia* u_n ha direzione e verso costante. Il parallelepipedo non � una di
quelle arachidi bitorzolute che ti fanno vedere quando ti spiegano il
flusso :)
Consideriamo il primo integrale. Il vettore E, per come � definito, ha la
direzione di u_x ed � quindi perpendicolare alla faccia! Il versore di E �
proprio u_x e puoi scrivere il prodotto scalare come |E|u_x.u_n (dove con
|E| indico il modulo del vettore E), quindi "quello che conta" � il p.s.
dei versori. Ma u_x.u_n=-1, perch� i versori hanno modulo uno ed inoltre
formano un angolo di pi greco.. e come sai dalla definizione di p.s., il
coseno di pi greco, che interviene nel p.s., � -1: infatti, u_n, il
versore perpendicolare alla faccia, punta nella direzione OPPOSTA a u_x,
come vedi dal disegno se scegli un font a spazi fissi o fixed space come
il Courier:
u_n _ u_x
<---|_|--->
Il tuo integrale � allora
int(E.u_n*dS)_faccia0 = int(|E|u_x.u_n*dS)_faccia0 = int(|E|*-1*dS)_faccia0
Poich� il tuo |E| dipende solo da x, avrai che in ogni punto sulla faccia
c'� lo stesso campo elettrico! Esso sar� uguale come valore ad |E|
calcolato in 0, che chiamo |E(0)|. Tutti i punti della faccia sono infatti
alla stessa ascissa, per come � il sistema di riferimento! Allora puoi
estrarre |E| e -1 dall'integrale, ottenendo
int(|E|*-1*dS)_faccia0 = -|E(0)|*int(dS)_faccia0
Poich� dS � l'elemento di superficie, l'integrale di dS sulla faccia0 sar�
proprio la superficie della faccia0, ovvero a*b. Hai quindi che il tuo
primo integrale avr� il valore
-ab|E(0)|
Puoi fare lo stesso, identico ragionamento per la facciaC: quello che
cambia � che il versore u_n relativo alla facciaC avr� lo stesso verso di
u_x, perch� come ho gi� scritto per convenzione i versori normali alle
superfici chiuse si intendono USCENTI dal volume racchiuso dalla
superficie. Allora il prodotto scalare sar� u_x.u_n = 1, anzich� -1.
Inoltre, naturalmente, dovrai valutare E nel punto C anzich� nel punto 0.
Il secondo integrale, allora avr� il valore
ab|E(C)|
E quindi in definitiva il flusso uscende dal tuo parallelepipedo sar� la
somma dei due integrali, ovvero raccogliendo
ab(|E(C)|-|E(0)|)
Ricordo che il calcolo del flusso si fa sempre su superfici CHIUSE, come
quella, appunto di un cubo; ma se applichi il ragionamento fatto per
faccia0 e facciaC alle altre 4 facce del cubo noterai che u_x.u_n = 0,
perch� u_n sar� perpendicolare ad u_x, e il loro contributo all'integrale
sar� nullo come avevi giustamente intu�to.
Spero di averti chiarito le idee e non confuse ancora di pi�. Chiedi pure
cosa non hai ancora capito.
> Luca
RI
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Received on Wed May 05 2004 - 20:27:00 CEST