Avevo inviato una rettifica alla mail del 7 giorno 8 mattina
ma non � arrivata.
* Elio Fabri ha scritto.
� Le trasf. conformi esistono in qualunque numero di dimensioni,
� ma a naso direi che non conservano l'armonicita'.
Quello che ho notato � che pure se � vero che il concetto di funzione
olomorfa pu� essere generalizzato alle funzioni complesse in pi� variabili
f(z1,...,zn), grazie alle regole di commutazione per i numeri complessi,
tuttavia non � poi vero che le funzioni di tre variabili complesse
implichino l'armonicit� di una qualche funzione reale da R^3 in R.
Tuttavia il problema iniziale lo avevo riformulato, nella mail perduta,
(sperando che Valter o tu se aveste gi� sentito
parlare dell'argomento avreste potuto indirizzarmi)
in questo modo:
data una funzione f:R^n --> R armonica trovare una estensione
F:R^n+k --> R^n+k in modo che per tutte le funzioni soggiacenti
ad una qualche condizione di Cauchy Riemann in n+k sia
ancora verificata la condizione di armonicit� delle componenti.
� Non ho fatto nessun conto, ma se cosi' fosse, l'elettrostatica
� in tre dimensioni sarebbe semplice, mentre non lo e'.
Il tema � che questa complessit� � risolta da un nucleo integrale semplice e
noto in dimensione qualsiasi, e dunque quando siano note le distribuzioni di
carica �
risolta in qualunque dimensione, ma l'elettrostatica in dimensione due gode
di una propriet� di simmetria ed
invarianza che mi piacerebbe generalizzare a dimensioni
maggiori oppure spiegarmi il motivo della, eventuale, impossibilit� di
questa estensione.
D'altre parte i corpi numerici che contengono R non sono tanti come noto ed
ha senso parlare di funzioni iperolomorfe su H (quaternioni) ed O (ottetti
di Cailey) e trovare condizioni di Cauchy Riemann imponendo la condizione di
analiticit�, per� H ha dimensione 4 come spazio vettoriale su R e le
funzioni iperolomorfe non fanno al caso nostro. Nondimeno � possibile, ed �
stato fatto, parlare di una condizione di olomorfia in dimensione 2+1
proprio utilizzando i quaternioni (ridotti) della forma z+xi+yj, il vincolo
differenziale tuttavia non � quello della armonicit� (infatti la condizione
contiene un laplaciano ma contiene pure un termine 1/z d/dz) E' possibile
che sia
pi� naturale l'elettrodinamica che non l'elettro-statica in dimensione
tre.
Quello che mi chiedo � se non sia possibile trovare condizioni
di Cauchy Riemman che fanno al caso nostro anche in dimensione
tre e pi� in generale in condizione dispari ragionando su n-ple
non numeriche e funzioni in n variabili.
L'elettrostatica sortisce in modo naturale dalla richiesta che
la soluzione non dipenda dal tempo. Ad ogni modo questo vincolo
non � un vincolo invariante rispetto alle trasformazioni che
coinvolgono il tempo. In parole semplici l'elettrostatica
non ammette una formulazione covariante. Quello che mi lascia
basito di tutto questo � che quando uno studia l'elettrodinamica
si abitua a pensare che le equazioni di Maxwell siano ben comprese e che la
condizione di dualit� sia una fortunata coincidenza che ammetter� qualche
forma di generalizzazione in dimensione qualsiasi.
Poi se uno medita con pi� attenzione sospetta che ci sia molto di
pi� e che questo potrebbe essere accessibile per via quasi esclusivamente
speculativa. E che in qualche modo le soluzioni elettrodinamiche siano
soluzioni statiche globali in un universo in dimensione quattro.
Mi sembra che la chiave per apprezzare e non sopravvalutare i
discorsi di chi parla di universo olografico sia in questo genere
di considerazioni. I limiti di validit� di queste considerazioni
si riducono infatti a quelli tradizionali della gnoseologia
matematica senza particolari misticismi.
� Avrai notato una differenza tra SL(2,R) e SL(2,C): nel primo
� caso manca un pezzo del gruppo ancora di dimensione 3. In
� altre parole la chiusura della parte esponenziale non ti da'
� l'intero gruppo. Invece per SL(2,C) la parte esclusa ha
� codimensione 2, quindi neppure separa l'intero gruppo.
Non capisco come intendi la dimensione, stai parlando di dimensione dello
spazio tangente come spazio vettoriale su C o su R? Se parli di dimensione
in C allora hai gi� dimostrato che nella mappa esponenziale dell'algebra di
SL(2,C) manca una componente di dimensione 3 (e 6 come spazio vettoriale su
R, il gruppo tuttavia ha dimensione reale 6 quindi manca una variet� di
codimensione reale 0 manca mezzo gruppo per l'esattezza, infatti se
moltiplichiamo la mappa esponenziale per -I otteniamo elementi che non
appartengono alla mappa esponenziale e che con questa hanno in comune
solamente l'elemento -I riunendo queste due componenti: namely la mappa
esponenziale e -I exp si riottiene tutto il gruppo).
SL(2,R) � contenuto nella rappresenzazione generale di SL(2,C),
ed una volta studiato SL(2,C) segue che SL(2,R) � una sezione
non connessa di SL(2,C). La parte connessa all'identit� si
ottiene specializzando ad R la rappresentazione:
(+/-I)*[cosh(r)+(senh(r)/r)*(aS1+bS2+cS3)]
del generico elemento di SL(2,C). Basta scegliere c immaginario ed r reale o
immaginario, facendo qualche conto si scopre che la condizione che cosh(r) e
senh(r)/r siano reali equivale a chiedere che r sia reale o immaginario.
Si pu� provare che questa rappresentazione � completa, mentre non �
certamente univoca (anzi sono ammessi infiniti altri valori scegliendo una
diversa fase comune f per a,b,c in modo tale che tuttavia cosh(fr) e
senh(fr)/r siano reali, tuttavia questa mancanza di univocit� � qualcosa a
cui siamo abituati quando usiamo R per rivestire una circonferenza).
SL(2,R) ha dimensione reale tre e non � connesso. La mappa esponenziale
della sua algebra tuttavia � suriettiva sulla componente connessa
all'identit�.
I Sospetto: non sar� che ogni gruppo connesso o non connesso, ma con algebra
reale pu� essere visto come sottogruppo di un gruppo connesso ad algebra
complessa (che ricordiamo pu� sempre essere decomplessificata distinguendo A
da iA)?
Osservazione: i gruppi isometrici di metrica definita positiva hanno due
componenti connesse, i gruppi isometrici di metrica mista (pseudo metrica)
hanno quattro componenti connesse. Entrambi questi gruppi hanno un
sottogruppo, specificatamente
il sottogruppo speciale (quello a determinante positivo,
questo gruppo non � un sottogruppo normale) che risulta:
connesso e compatto per le metriche definite (ed immerso in un gruppo
complesso connesso e compatto)
a due falde per le metriche miste (ed immerso in un gruppo complesso
connesso ma non compatto)
II Sospetto: non � che esiste in generale un nesso fra la non esponenzialit�
di un gruppo complesso connesso non compatto ed il grado di connessione di
un suo sottogruppo reale? (un sottogruppo reale di un gruppo di lie ad
algebra complessa � un sottogruppo la cui algebra si riduce alla parte reale
dell'algebra complessa).
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Received on Thu Apr 15 2004 - 00:49:03 CEST