Il 07 Apr 2004, 12:03, Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com> ha scritto:
> Non riesco ad immaginare come (come spazio topologico puoi
> sempre farlo, per esempio usando la procedura di Alexandrov, ma
> come la mettiamo per le operazioni di gruppo?)
Io stesso Archeoloco ho scritto:
* Nel caso di SL(2,C), ad esempio, osserviamo che la
* mappa esponenziale copre un sottoinsieme di SL(2,C)
* il modo pi� naturale di costruire l'estensione non
* standard passa per le superfici di Riemann della funzione
* ln. Se infatti risolviamo l'equazione cosh(z)=-1 troviamo
* che |z| non � limitato superiormente. mentre senh(z) �
* sempre uguale. (senh(z) � una funzione periodica con lo
* stesso periodo di cosh(z)). Dunque il punto -I �
* raggiungibile in senso debole.
In una rettifica che avevo inviato giorno 8 mattina e che non �
arrivata sul ng avevo ripensato la questione e mi ero accorto del fatto che
la mappa esponenziale dell'algebra di Pauli, esplicitata nella mail di Elio
contiene propriamente l'elemento -I mentre non pu� contenere, come gi� Elio
aveva dimostrato, alcun elemento in cui a -I risulti sommata una
qualsivoglia combinazione di matrici di Pauli, dunque l'idea
che la mappa esponenziale sia densa nel gruppo non � valida
in generale.
Avevo concluso con l'icastica affermazione che
SL(2,C) ha un dark side zone e che -I � l'orizzonte degli
eventi per la mappa esponenziale.
Pensavo, senza averlo scritto, tuttavia, che l'argomento
della rappresentazione non standard potesse essere salvato identificando gli
elementi (-I+aS1+bS2+cS3)|f| con elementi infinitesimi della mappa
esponenziale nell'intorno di ogni r0 tale che cosh(r0)=-1 senh(r0)=0. Al
seguente modo:
cosh(r0+r/alfa)I+(senh(r0+r/alfa)/(r0+r/alfa))[(a+a'/alfa)S1+(b+b'/alfa)S2+(c+c'/alfa)S3]
(dove 1/alfa � l'infinitesimo campione dell'estensione non standard di R)
viene identificato con
(-I)*[cosh(r)+(senh(r)/r)*(b'*S1+c'*S2+d'*S3)].
abbiamo il vincolo a^2+b^2+c^2=r0^2 come il vincolo a'^2+b'^2+c'^2=r^2 per
ottenere ogni elemento possibile.
Dunque questa intuizione della mappa infinitesima della dark
side zone nella zona accessibile � sostenibile in effetti e quello che spero
� di riuscire a collegarla con quest'altra osservazione:
data un'algebra reale T possiamo costruire il gruppo lessicografico delle
potenze naturali della sua mappa esponenziale. Il fatto che questo gruppo si
riduca ad
un gruppo di algebra T quando l'algebra sia
intesa come algebra tangente di un gruppo implica per il
teorema di Wustner che dati exp(t1)exp(t2)exp(t3)...exp(tn) esistono a,b in
modo che exp(t1)exp(t2)exp(t3)...exp(tn)=exp(a)exp(b)
Altra osservazione che � poi una domanda: sempre spippolando con le algebre
e con le rappresentazioni esponenziali risulta che l'esponenziale di un
gruppo con algebra complessa pu� essere posto in corrispondenza biunivoca
con un gruppo ad algebra reale. Infatti in ogni algebra complessa possiamo
considerare linearmente indipendenti gli elementi A e iA.
Se uno prova a definire un'algebra usando anzich� un campo un'algebra di
divisione non commutativa (come le chiamano oggi) ovvero un corpo non
commutativo incontra serie difficolt�: infatti l'algebra ha una
moltiplicazione distributiva quindi aA*bB=abA*B e nel caso di algebra di
Lie: aA*bB=-bB*aA=-baB*A=baA*B, dunque deve risultare abA*B=baA*B, ovvero
(ab-ba)A*B=0. Quindi, per dirlo poeticamente:
un'algebra di lie reale pu� essere sempre complessificata e viceversa un
algebra di lie complessa pu� essere decomplessificata, mentre un'algebra di
lie reale non pu� essere quaternionizzata perch� il corpo dei
quaternioni contiene tre unit� non commutative. Quello che mi chiedo � se
tuttavia esistono ed hanno qualche utilit� delle algebre di commutazione
quaternioniche. Credo di si, ma non capisco bene come interpretare il
vincolo.
Queste algebre sarebbero infatti vincolate, come detto,
dalla regola aA*bB=(ab+ba)/2 A*B ovvero (ab-ba)A*B=0
oppure si rinuncia ad usare algebre?
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Received on Thu Apr 15 2004 - 00:54:22 CEST