Re: Energia, hamiltoniana e operatore hamiltoniano

From: Andrea Barontini <baro77_at_gmail.com>
Date: Sat, 21 May 2011 20:07:03 +0200

Ciao Elio

scusa il ritardo, ma la seconda meta' di maggio comincia a essere un
periodo bruttino per l'universita' (come ben ricorderai: compitini,
esami che si avvicinano rapidamente, insegnamenti che condensano gli
ultimi argomenti in un susseguirsi abbastanza convulso di lezioni
straordinarie...)
Cmq eccomi qua :-)


Il 15/05/11 21.32, Elio Fabri ha scritto:
> Andrea Barontini ha scritto:
>> in meccanica classica [...] in generale si puo' sempre scrivere
>> l'Hamiltoniana, ma che questa rappresenti l'energia totale del sistema
>> non e' in generale detto (dipende invece dalla scelta effettuata per
>> le coordinate generalizzate).
>> [...]
>>
>
> Debbo dire che la domanda non mi e' troppo chiara.
> Mi chiederei in primo luogo: a prescindere da hamiltoniana, sia in m.c.
> come in m.q., che cos'e' l'energia?
> Il tuo discorso ha senso se dell'energia si puo' dare una definizione
> indipendente.
> Questo e' chiaro se esiste l'invarianza per traslazioni temporali:
> allora chiamo energia la costante del moto associata a tale invarianza
> (e questo prescinde dalla scelta delle coordinate: sara' solo
> l'espressione dell'energia che cambiera' a seconda delle coordinate).
>

Dunque, provo a ripercorrere la linea di ragionamento che mi ha portato
alla domanda:

- data una lagrangiana L=T-V, posso sempre scrivere la relativa
hamiltoniana H = SUM_i[v_i * dL/dv_i] - L
(dove con v_i ho indicato le velocita' generalizzate);

- come hai ricordato anche tu, se la lagrangiana e' invariante per
traslazioni temporali allora l'hamiltoniana e' una costante del moto
(NOTA a margine: a lezione di meccanica razionale noi lo dimostrammo con
un'ipotesi piu' forte, la *non* dipendenza esplicita tout-court della
lagrangiana dal tempo... e' "grave"?);

MA

Noi a lezione per dimostrare che l'hamiltoniana e' uguale all'energia ci
siamo messi nella condizione per cui:

1) il potenziale V non dipenda dalle velocita' generalizzate;
2) la parte cinetica T sia una funzione omogenea di grado 2 nelle
velocita' generalizzate;


in questo modo:

- la derivata rispetto alla velocita' generalizzata della lagrangiana si
riduce alla derivata rispetto alla velocita' generalizzata della parte
cinetica T

- posso applicare il teorema di eulero per le funzioni omogenee e ottenere:

H = SUM_i[v_i * dL/dv_i] - L = 2T - (T-V) = T + V


A questo punto andando a vedere come e' ricavata la componente cinetica
T (in funzione delle coordinate generalizzate, partendo dalla
definizione con le usuali coordinate cartesiane) si vede che la 2)
implica che, data la funzione vettoriale P a valori vettoriali che lega
le coordinate cartesiane e generalizzate...


   x_i = P(q_i, t)

   ( con x_i: coordinate cartesiane ortogonali, q_i: coordinate
     generalizzate, t: tempo )


..., deve essere dP/dt = 0 (cioe' il vincolo non deve dipendere
esplicitamente dal tempo).


La condizione sull'indipendenza esplicita della lagrangiana dal tempo
tout-court (o la condizione di invarianza per traslazioni temporali) di
per se non implica le condizioni aggiuntive 1) e 2): potrei infatti
avere per P una dipendenza dal tempo che mi introduce in T un termine
lineare nelle velocita' generalizzate e uno costante, oppure un
potenziale V dipendente dalla velocita' generalizzata, oppure entrambi e
continuare ad avere una lagrangiana indipendente dal tempo e quindi H
costante del moto.


Per questo motivo parlavo di "dipendenza dalla scelta effettuata per le
coordinate generalizzate".


Secondo me arrivati qua col ragionamento le possibilita' sono due:

- o a lezione abbiamo usato le condizioni 1) e 2), ma sono pero' ipotesi
troppo forti scelte per comodita' di dimostrazione, e invece basta
l'invarianza della lagrangiana per traslazioni temporali per poter
essere sicuri *non solo* che l'hamiltoniana H e' una costante del moto,
ma anche che H=T+V
...e a questo punto sarei curioso di vedere una dimostrazione piu'
generale si quella che ho visto a lezione, che dimostri:
(invarianza L per traslazioni temporali) => H=T+V

- oppure che l'hamiltoniana sia una costante del moto e che rappresenti
l'energia totale in generale non sono due affermazioni che vanno
necessariamente di pari passo.


> Ma se l'invarianza non c'e'?
> Un esempio: un pendolo la cui lunghezza varia nel tempo.
>
> In casi del genere bisogna scegliere, e di solito si sceglie "per
> analogia".
> Cosi' per il pendolo chiamero' energia la stessa funzione delle
> coordinate q,p che nel caso di lunghezza fissa mi darebbe l'energia in
> senso semplice.
> Ma naturalmente questa non e' una costante del moto, e in termini
> classici puoi ricondurre la sua variazione al lavoro fatto
> dall'esterno per variare la lunghezza del filo.
>

Ok, lo trovo ragionevole
Comunque come avrai capito dalle righe precedenti il mio problema non
centra direttamente (o quantomeno non in prima battuta) con la *non*
conservazione dell'energia visto che comunque ho assunto fin dall'inizio
di essere in un contesto conservativo.


> Un altro esempio, che ha importanza anche in m.q. per le applicazioni
> a sistemi atomici, e' quello di una carica legata elasticamente e
> soggetta a un campo elettrico esterno oscillante.
> Anche qui si procede allo stesso modo: si chiama energia quella solita
> dell'osc. armonico in assenza di campo esterno, che quindi non si
> conserva: uno stato stazionario in assenza di campo non lo e' piu' col
> campo, che provoca transizioni fra quegli stati.

abbiamo trattato, seppur un po' rapidamente e in assenza di campo
esterno, l'oscillatore armonico quantistico come applicazione
dell'equazione di Schrodinger con un potenziale che non fosse lineare a
tratti;
ma io non l'ho ancora rimeditato per i fatti miei ;-) ..quindi per ora
metto da parte queste tue parole e ne terro' conto le prossime settimane
quando mi dedichero' all'ultima parte degli appunti dell'insegnamento...


>
> Come forse sai o forse no, questo e' l'approccio detto "semiclassico"
> all'interazione fra atomi e radiazione. Semiclassico, perche' il campo
> e.m. e' trattato classicamente: niente fotoni.
> Ma questa era una divagazione.

si ricordo di averlo letto nella tua relazione "Nascita e sviluppo
dell'idea di fotone" (pag 17 una volta andato a ripescare il testo..)


>
> In casi come questo, la hamiltoniana, classica o quantistica che sia,
> e' sempre associata all'energia del sistema, e non vedo condizioni
> sulle coordinate.
>

La sparo, perseverando un attimo (lo so che e' malefico ;-P) nella mia
linea di pensiero delle righe sopra: non e' che per caso nei casi che
hai citato sopra le condizioni 1) e 2) sono rispettate implicitamente?
(tirando a indovinare immagino che tu stia pensando a coordinate polari
indipendenti dal tempo e a potenziali gravitazionali/coulombiani, quindi
posizionali)




Tornando -per chiudere- al dubbio che mi ha portato ad aprire il thread:
ammessi (e non concessi ;-P) i distinguo sulle coordinate generalizzate
per l'hamiltoniana che ho cercato di spiegare in questo post, ci sono
dei distinguo analoghi anche per le coordinate in cui e' espresso
l'operatore hamiltoniano, oppure quest'ultimo e' piu' "resistente" ai
cambi alle situazioni un po' "esotiche"? e in caso, perche'?


Ciao e grazie
Andrea Barontini



PS
L'insegnamento in cui sto incontrando la MQ e' quello per cui avevo
chiesto consiglio su un libro da comprare qualche mese fa.. con te era
rimasta in sospeso la questione "esame solo orale, forse un errore?"
Forse non ti interessa, ma ti confermo che in effetti e' cosi'; ma le
lezioni sono state impostate in modo tale che lo studente motivato e'
invogliato a casa a farsi una discreta quantita' di conti per
dettagliare le "dimostrazioni" impostate nei punti salienti a lezione,
quindi seppur ufficiosamente l'insegnamento ti porta a "sporcarti le
mani con i conti" se vuoi capire.... ovviamente nei limiti
dell'impostazione didattica del corso di laurea, che prevede un corso di
MQ approfondito anche negli aspetti tecnici il prossimo (terzo) anno (di
12 crediti -> almeno 4 ore a settimana per tutto l'anno): per quanto
riguarda gli aspetti "matematici" per ora sono stati introdotti i
risultati del teorema spettrale, ovviamente in relazione ad autostati
propri e impropri, autovalori degeneri, e alle formule per il calcolo
della probabilita' di un'osservabile e della sua media di occorrenza.
Received on Sat May 21 2011 - 20:07:03 CEST