Re: problema dei due corpi..

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Thu, 11 Mar 2004 21:24:28 +0100

Phobos ha scritto:
> ...
> Ci sono 6 integrali del moto del centro di massa, tre integrali delle
> aree e un'integrale dell' energia.
Certo: e' il gruppo di Galileo.

> ci sono pero' le soluzioni particolari, per esempio se l'oggetto
> considerato e molto piu' piccolo degli altri due, quindi esercita
> forza di gravita' trasurabile rispetto ai due corpi...
Il cosiddetto problema dei tre corpi ristretto non e' affatto piu'
integrabile di quello generale.
Perfino se assumi che i due primari siano in moto circolare uniforme,
e cerchi solo il moto del terzo corpo, hai solo l'integrale
dell'energia, mentre per renderlo integrabile ce ne vorrebbe un altro.

Vedi dopo...

David ha scritto:
> Non � che il problema dei 3 corpi non ammetta soluzione in forma
> chiusa, � che la soluzione *generale* (che descrive tutte la
> situazioni possibili) non � stata ancora trovata.
Mi sono fatto lidea che sul problema dei tre corpi circolino un po' di
leggende metropolitane...
Il che non mi stupisce, perche' fino a un po' di anni fa, quando
decisi di studiarlo per mio conto, avevo anch'io idee parecchio
confuse.
Pero' oggi la cultura meccanica sull'argomento dovrebbe essere
decisamente migliorata: speriamo che si propaghi fino ai corsi
standard, ma ci spero poco.

Il "problema" del problema dei tre corpi (scusate il bisticcio) e' che
*non e' integrabile*.
Si tratta di capire che cosa significa, e che conseguenze ha.

Abbiamo un sistema con n gradi di liberta' (2 per il problema dei tre
corpi ristretto piano, che gia' basta).
Se e' un sistema conservativo, c'e' sempre la costante del moto
dell'energia.
La domanda e': ce ne sono altre?
Il teorema di Liouville-Arnold assicura che se il sistema ammette n
costanti del moto (energia inclusa), con parentesi di Poisson nulle
tra loro, allora la soluzione del moto si ottiene con semplici
quadrature (integrali).
(Per inciso, i semplici integrali possono in realta' non essere
esprimibili con funzioni elementari: succede gia' col semplice
pendolo, fuori dell'approssimazione delle picole oscillazioni. Ma se
il problema e' ridotto alle quadrature, e' dato per risolto.)

Nel problema dei tre copri ristretto, c'e un parametro essenziale: il
rapporto del masse dei due primari.
Esempio: possiamo avere il sistema Sole-Giove-asteroide: allora il
parametro e' k = M(giove)/M(Sole), che per inciso vale circa 0.001.

Per k=0 il problema e' banale, perche' diventa di due corpi soli.
Ci si chiede, come variano le soluzioni, e le eventuali costanti del
moto in funzione di k?
Quello che Poincare' dimostro' oltre 110 anni fa, e' che il problema
ristretto dei tre corpi non ammette integrali primi analitici in k.
Dunque se le costanti del moto esistono (e in linea di principio
esistono per forza, ma evito di dimostrarlo per brevita') debbono
essere delle funzioni assai cattive, che non permettono di risolvere i
problema con le solite quadrature.

Poincare' studio' piu' a fondo la situazione, e scopri' quello che poi
sarebbe stato chiamato "comportamento caotico": quindi non
integrabilita' e caos sono strettamente imparentati, anche se non so
se sia mai stato dimostrato che un sistema non integrabile e'
necessariamente caotico (il viceversa e' banale).
Piu' tardi la scuola di Kolmogorov (Arnold, Moser) dimostro' in
generale che anche in un sistema integrabile sopravvive un pochino di
ordine (i cosiddetti "tori invarianti"). Ma a questo punto la cosa
diventa parecchio complicata.

Per concludere:
a) Il problema dei tre corpi e' certamente trattabile con integrazioni
numeriche, ma ci si debbono aspettare delle "instabilita'", che
comportano estrema criticita' dei calcoli e quindi poca o nessuna
affidabilita' oltre un certo intervallo di tempo.
b) Non si tratta di esistenza o no di formule chiuse, che non ci sono
anche per problemi perfettamente risolti, senza creare problemi a nessuno.
c) Non e' questione di aspettare che qualcuno trovi una soluzione: nel
senso che ho detto la soluzione non c'e' (teorema). Mentre nell'altro
senso la soluzione c'e' (unica) come per qualsiasi sistema di eq.
differenziali suff. regolare.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Thu Mar 11 2004 - 21:24:28 CET