Re: Esponenti di Ljapunov

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 01 Mar 2004 20:52:01 +0100

Palom ha scritto:
> No, mi serve per capire a fondo un articolo (di numerica) che sto
> leggendo e che mi serve per un progetto (oltre che per cultura
> personale, che non guasta mai!). L'esponente si calcola, o � una
> "maggiorazione" della divergenza (cio�, da' un bound superiore, anche
> se poi magari la divergenza � una legge di potenza?)?
Se la divergenza e' una legge di potenza, l'esp. di L. e' zero.

Non so se faccio bene a presentarti la questione in termini di eq.
differenziali, invece che di equazioni discrete, ma cosi' e' nata...

Dunque: hai un sistema di eq. diff. di primo ordine (ti puoi sempre
ricondurre a questo caso).
Siano x1...xn le funzioni, t la var. indipendente.
Integri il sistema a partire da certe condizioni iniziali x1(t0)=a1,
ecc. e poi vari le cond. iniziali: x1(t0)= a1+eps1, ecc.
Ottieni una seconda soluzione.

Se le eps sono piccole, la differenza tra le due soluzioni la puoi
ottenere da una "linearizzazione" del sistema di partenza.
Il sistema lineare avra' soluzioni con andamento esponenziale, del
tipo exp(kt), con k reali o complessi; la piu' grande parte reale
dei k che trovi e' l'esponente di Liapunov.
Dunque se l'esp. di L. e' >0 c'e' semre una soluzione che diverge
esponenzialmente, e finisce per dominare, per t suff. grande.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Mon Mar 01 2004 - 20:52:01 CET