Il 30 Gen 2004, 19:03, gianmarco100_at_inwind.it (Gianmarco Bramanti) ha
scritto:
> > Parti da una rappr. irr. del gruppo di Poincare' (inversione spaziale
> > inclusa).
>
Fatto. Lasciando da parte la divagazione.
Quel che ho fatto � scrivere l'algebra di Lie dei
generatori delle trasformazioni di Poincar�. Ma mi
sono riferito alla rappresentazione del gruppo
data dalle matrici quattro per quattro che agiscono
su R_3,1 in prodotto semi-diretto con le traslazioni
finite. A questo punto devo considerare una rappresentazione
che mi permetta di esprimere le caratteristiche di
spin delle particelle. Il modo alla Wick che mi hanno
insegnato ad usare richiede di ottenere tutti gli stati
come trasformazioni di Lorentz di uno stato di riposo:
exp(-iT*delta_x)exp(-iK*alfa)|J,Jz>
Quindi � evidente che per gli stati dei fotoni devo
inventarmi qualcosa di pi� generale.
Questo qualcosa consiste nel ragionare direttamente
sull'algebra come suggerisci a partire dall'ipotesi,
che si riveler� controfattuale che esista una
rappresentazione di spin uno?
Qui al solito ho il problema che mi manca quel
> > Hai a disposizione gli operatori dell'algebra, che sono i generatori
> > delle traslazioni e delle trasf. di Lorentz, piu' l'inversione
> > spaziale appunto.
Qui mi ripeto. Come faccio con questo a costruire
l'inversione temporale? Che pure � nel gruppo di
Poincar�.
Quattro componenti
> semplicemente connesse. Dove sbaglio?
In realt� lo so. Avrei dovuto scrivere quattro
componenti connesse. Se aggiungo "semplicemente"
l'affermazione diventa falsa. Ma anche dicendo
solo connesse mi rimane qualche dubbio. Infatti
molta gente finisce per ragionare sul gruppo
euclideo, seguendo la scuola di Schwinger, ma
a parte qualche illuminato, pochi puntano
l'attenzione sul fatto che il gruppo euclideo �
solo localmente isomorfo, quindi isomorfo a livello
di algebra con il gruppo di Poincar�, ma non a
livello globale.
Qui il mio sospetto � che l'aggiunta di una trasformazione
limite, una sorta di estensione proiettiva del gruppo
di Poincar� possa ricondurre effettivamente il gruppo
di Lorentz al gruppo euclideo. E' vero questo?
> > Devi costruire tre operatori che abbiano le giuste rel. di commutazione
> > con le componenti dell'impulso.
nel caso di una particella massiva ordinaria:
[x,p_x] = -i
[y,p_y] = -i
[z,p_z] = -i
Dacciocch� segue:
|x>=exp(ixp_x)|0>
[x,J_y] = ?
per andare avanti � importante sapere che vale una regola
generale: la formula di Haussdorff-Campbell-Baker.
Questa formula permette di esprimere la trasformazione
infinitesima: esp(-iA*alfa)O esp(iA*alfa) come una serie
di alfa e dei commutatori successivi di A ed O. Siccome
importa solo l'ordine pi� basso andiamo a scriverlo:
(1-iA*alfa)O(1+iA*alfa)=ialfa[O,A].
Questo � vero a prescindere dalla rappresentazione...
Allora vorremmo che la traslazione in avanti dello
stato comportasse una variazione di alfa nel valor
medio della posizione. (indipendentemente dallo stato
considerato). E cos� �. Ora la rotazione intorno ad
un asse n di angolo theta deve comportare una variazione
del valor medio di r pari a theta n vect r
(1-i*j*alfa)r(1+i*jz*alfa)=i[r,alfa*j]= alfa vect r.
Analogamente per i boosts.
Ora occorre formalizzare la difficolt� che
riscontriamo nel mondo classico qualora
tentiamo di imporre l'invarianza dopo
un boost della condizione di trasversalit�?
O sono fuori strada? Cio� quel che voglio ottenere
� costruire un osservabile che abbia le propriet�
di essere un vettore e di essere trasversale in
ogni riferimento?
Oppure quel che � impossibile �
proprio costruire un osservabile che verifichi la
condizione di Lorentz?
Da questo punto di vista evidentemente c'� qualche
difficolt� sarebbe come se noi volessimo costruire un
oggetto che � un quadrivettore usando la rappresentazione
di spin. Che significa ci�? Se usiamo i bispinori possiamo,
finch� non imponiamo il vincolo di elicit� conservata, procedere senza
difficolt�. Altrimenti difficolt�.
La conservazione dell'elicit� non � una propriet�
invariante intrinsecamente nella rappresentazione.
Forse lo ridiventa se quello che � osservabile lo costruisco
a partire dagli accoppiamenti, ovvero se quel che �
osservabile � quel che � fisicamente possibile secondo una
teoria. Qui il problema si sposta dal piano dei campi
a quello delle interazioni ed in questo ambito mi sembra
che si risolva scrivendo le giuste lagrangiane.
Per� non ho ancora risposto alla domanda centrale che
porta alla necessit� di questo approccio. Perch� non
� possibile costruire un osservabile che sia come
una particella di spin uno ed al tempo stesso come un
potenziale vettore? A dire il vero mi trovo nella incresciosa
situazione di conoscere la risposta ma non esser capace
di formulare correttamente la domanda.
Quel di cui dubito � che abbia qualche significato
cercare particelle di spin definito quando queste
possono avere la velocit� della luce. Cio� la mia
sensazione � che se si vuole perseguire la strada
di una teoria dei campi, piuttosto che delle interazioni,
non si deve passare per una rappresentazione di spin.
A meno di non modificare il gruppo, infatti non hanno
significato i punti limite, nel gruppo di Lorentz
non � accessibile la velocit� della luce.
> Ok. Devo tenere presente che ci sono gli invarianti
> di Casimir. Ovvero gli invarianti dell'impulso.
>
> > Non c'e' nessuna difficolta' a farlo per particelle di massa non
> > nulla; ritengo (ma non ho controllato) che non ci sarebbe neppure per
> > particelle di spin zero e massa nulla, ne' per particelle di spin 1/2
> > e massa nulla (ma con i due stati di elicita': non i neutrini di Weyl).
>
> Pu� darsi infatti posso costruire qualunque stato di spin.
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Received on Mon Feb 02 2004 - 20:15:34 CET