Re: Equivalenza massa energia.

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Sat, 20 Dec 2003 21:14:03 +0100

Valter Moretti ha scritto:
> ...
> Anche visto che qualche anno fa su questo NG
> discutemmo della rappresentazione di NW e sulla questione della non
> localita' della trasformazione delle funzioni d'onda in questa
> rappresentazione dove comunque l'operatore posizione assume la forma
> solita.
Povero me! Non me ne ricordavo affatto...
Mi sto dunque ripetendo? E' ben noto che ai vecchi capita...
Ma facciamo finta di niente, e andiamo avanti.

Breve riassunto: ho definito due norme:

||\phi||_1^2 = \int d^3p |phi(p)|^2

||\phi||_2^2 = \int d^3p/E |phi(p)|^2.

- la 1 si presta meglio all'interpretazione fisica della f. d'onda
- la 2 e' Lorentz invariante: \phi(p) |--> \phi(\Lambda^{-1} p)

Questa seconda l'ho chiamata "trasf. locale".
Se \phi e' locale e ha la norma 2, allora \phi' = E^{-1/2} \phi e'
tale che ||\phi||_2 = ||\phi'||_1, ma \phi' ha una legge di
trasformazione piu' complicata, non locale.

Poi ho mostrato la rappresentazione dell'algebra di Lie del gr. di P.
nei due casi.
Poi ho discusso la definizione dell'operatore posizione, per le due
norme.
Ed ero arrivato al punto d'introdurre la rappr. di Schroedinger, facendo
la TdF delle \phi(p).

Niente di piu' facile: basta definire

\psi(x) = (2\pi)^{-3/2} \int d^3p exp(ipx) \phi(p).

Questa \psi soddisfa la nota relazione

\int |\psi(x)|^2 d^3x = \int |phi(p)|^2 d^3p

quindi la norma di \psi e' proprio la stessa che si usa in m.q. non
relativistica, se per \phi adotto la norma 1.

Dopo di che si scrivono senza difficolta' le rappresentazioni di tutte
le osservabili: X e' semplicemente moltiplicativo per x; P e' -i\nabla_x.

Un po' piu' complicata la rappr. dell'algebra di Lie.

H\psi e' un operatore integrale:

(H\psi)(x) = \int H(x - x') \psi(x') d^3x' (1)

dove la funzione H(x) dipende solo da |x| (e' una qualche funzione di
Hankel modificata che non ricordo) ma ha come supporto l'intera
semiretta reale positiva. Dato che H genera le traslazioni temporali,
quindi determina l'evol. temporale della \psi, ne segue che l'eq. di
Schr. in questa rappr. *non e' locale* (e neanche causale): per
conoscere la \psi(x,t) occorre dare la \psi(x,0) *per ogni x*.

Naturalmente e' facile scrivere l'evol. temporale usando la TdF:

\psi(x,t) = (2\pi)^{-3/2} \int d^3p exp(i(px-Et)) \phi(p).

Dalla (1) segue l'eq. di Schr.

i d\psi(x,t)/dt = (H\psi)(x,t) = \int H(x - x') \psi(x',t) d^3x'. (2)

Fin qui la m.q. rel. di una particella di spin 0 non differisce gran
che da quella non rel.: l'unica differenza sta nell'espressione piu'
complicata (non locale) dell'hamiltoniana.

Ma naturalmente vogliamo anche vedere come agiscono le trasf. di
Lorentz: non e' difficile, trasformando le rappresentazioni
dei generatori K che avevamo gia' visto. Si trova

K = H^{1/2} x H^{1/2}

che pero' funziona solo per t=0. Infatti K non commuta con H
(relativita' della simultaneita') e quindi la sua rappr. deve dipendere
dal tempo:

K = H^{1/2} x H^{1/2} + it \nabla_x.

Comunque la vera grana e' che la trasf. di Lorentz della \psi *non e'
locale*.

Per concludere questa puntata, osservo ancora che l'eq. (2) puo'
essere semplificata iterandola:

d\psi/dt = -iH\psi ==>

d^2\psi/dt^2 = -iH d\psi/dt = -H^2 psi = (m^2 - P^2)\psi =
(m^2 + \nabla^2)\psi (3)

che e' l'eq. di Klein-Gordon.
Il prezzo che si paga e' l'introduzione di soluzioni spurie: infatti
la (3) e' soddisfatta anche dalle soluzioni di

i d\psi/dt = H\psi,

ossia quelle che impropriamente si chiamano "soluzioni a energia
negativa" o meglio a frequenza negativa. Ricordiamo che H e' infatti
definito positivo.
Naturalmente si possono escludere queste soluzioni imponendo la (2)
come condizione iniziale: l'eq. di K-G essendo di 2^ ordine, occorre
dare al tempo iniziale tanto la \psi come la d\psi/dt.

Commento finale per questa puntata. Mi sono un po' dilungato su questo
approccio (che non ho mai visto trattato sui libri) per mostrare che si
puo' coerentemente seguire da vicino la strada della m.q. non
relativistica, come interpretazione delle osservabili, normalizzazione,
ecc.
Il prezzo e' la non localita'. Ma su questo c'e' poco da fare, perche'
il "vero" operatore di posizione e' quello che abbiamo visto, la "vera"
densita' di prob. e' |\psi(x)|^2 come definita sopra.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sat Dec 20 2003 - 21:14:03 CET