Il 15 Dic 2003, 20:52, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> Gianmarco Bramanti ha scritto:
> > Piano, vediamo se ho capito: io so che le funzioni di
> > Hankel sono delle soluzioni dell'equazione:
> >
> > [quadratello - m^2]psi=0
> >
> > ottenute essenzialmente per sovrapposizione di onde
> > piane con P0 fissata. Mi sembra che siano le soluzioni
> > in coordinate sferiche. Per� anche le onde piane
> > sarebbero soluzioni.
> Le f. di Hankel (modificate) di per se' sono funzioni di Bessel con
> argomento immaginario, e con andamento asintotico esponenziale
> decrescente.
> Ce ne sono per ogni ordine reale.
Andr� a guardare un qualche manuale sulle funzioni
speciali, ma prima vorrei tentare di indovinare quale
� il significato di questa affermazione in rapporto a
quello che ho gi� detto. Osservo che l'equazione di
K.G. � invariante per rotazioni, la parte spaziale
del laplaciano, in coordinate sferiche prende una
forma di qualche equazione differenziale ordinaria
del primo ordine se andiamo a separare la parte
angolare. Al variare dell'autovalore del momento
angolare trovo una famiglia di equazioni differenziali,
se a questo punto l'equazione prendesse una forma
da cui risulta semplice separare la parte spaziale
dalla parte temporale, magari con una sostituzione
del tipo di variabili del tipo: (t-r-im) (t+r+im)
a quel punto dovrebbe essere facile andare a cercare
le soluzioni, che posso ricercare applicando, fra
l'altro, il metodo di Laplace, questo metodo si
trova spiegato su libri come Smirnov e nell'appendice
matematica di Landau, e se non sbaglio anche sul
bel libro di metodi di Carlo Bernardini.
Queste soluzioni prendono allora, tutte la forma
di integrali sul piano complesso in un qualche contorno
specificato, alle stesse equazioni del primo ordine si
pu� d'altra parte associare una serie che risolve l'equazione,
l'equazione dovrebbe essere differenziale ordinaria del secondo
ordine con coefficienti variabili.
Se questo modo non funzionasse rimane il classico metodo di
Fourier, quindi ottengo una famiglia di soluzioni indicizzate con la
frequenza. Non ho mai provato a scrivere tutto questo
con ordine perch� mi sembrava che ci fossero tante cose
pi� importanti da capire prima.
> Quello che volevo dire e' che il nucleo di cui stiamo parlando e' una
> f. di Hankel modificata di argomento k|r-r'|.
> E' quello che ottieni facendo la TdF di \sqrt(p^2 + m^2).
Ora se ho capito tu stai procedendo alla seconda maniera,
ovvero non per separazione diretta di variabili, ma con
il metodo di Fourier, me lo suggerisce il fatto che hai
un k nell'argomento. Benissimo, ma questa scelta del
nucleo, che avrebbe appunto due componenti, una in + sqrt(...)
una in -sqrt(...), mentre tu scegli la parte +sqrt(...)
� una scelta radicale in ambito classico, perch� comporta
di rinunciare appunto alla possibilit� di esprimere soluzioni
locali. Provo a spiegare meglio il perch�. Supponiamo di
avere una condizione iniziale specificata su un supporto
compatto, quindi imponiamo che la derivata sia nulla
ovunque esternamente al supporto (questo significa che
non sono in corso di nascita segnali che sortiscono dal
nulla, possibilit� che le equazioni di per se non escludono).
> > ...
> > Se uno trova gli stati legati per l'equazione
> > di Dirac, con il potenziale 1/r a me, con l'occhio
> > del contemporaneo, uscendo dalla prospettiva storica
> > del libro di Dirac, sembra che non consideri una
> > quantit� di fisica del sistema, non saprei spiegare
> > bene dove se l'� dimenticata, per� direi che manca.
> Ah certo: mancano tutti i processi virtuali in cui si creano coppie,
> magari altre particelle...
Questi casi li posso escludere selezionando solo i
diagrammi che corrispondono a quel che vedo, ovvero
alla fine di tutto nel diagramma deve entrare una
linea fermionica ed uscire una linea fermionica
mentre il potenziale porta una linea fotonica: fra i
tre vertici di queste linee pu� succedere di tutto. possono
essere direttamente linkati, possono essere linkati con
linee intermedie, tuttavia la rinormalizzabilit� permette
alla fine di tenere conto, a qualunque ordine, di tutta una
serie di diagrammi grazie alle identit� di Ward, la tecnica
originale un poco pi� complicata, riportata ad esempio da Landau, per
sommare questi diagrammi credo fosse di Dyson.
Tutta questa tecnica pu� essere applicata sugli stati
che diagonalizzano la parte di hamiltoniana corrispondente
all'equazione di Dirac. Scelta questa come hamiltoniana
imperturbata vado a sviluppare l'evoluzione temporale
tenendo conto della forma che assumono le basi su questi
nuovi stati.
Ora da ingenuo quale ancora sono, quello che io vorrei
sarebbe riuscire a ottenere gli stessi risultati in una
base arbitraria di stati, scegliendo come hamiltoniana
imperturbata quella che voglio, ad esempio l'hamiltoniana
cinematica (quella che contiene solo il termine cinetico),
tuttavia se tento questa strada mi trovo con una difficolt�:
devo cercare di scrivere la condizione di stazionariet�
per somma coerente di stati liberi dell'energia cinetica.
Perch� trovo che questa sia una difficolt�? Perch�
nonostante la tecnica delle trasformate di Fourier,
mi sembra che imporre la condizione di stazionariet�
di uno stato sia qualcosa di pi� difficile, in altre
parole se non so da prima come � fatto uno stato stazionario,
perch� l'ho selezionato a priori imponendo una condizione
di quantizzazione alla De Broglie (per intendendersi),
se non so questo a priori, dicevo, trovo difficile ottenere
gli stati stazionari per evoluzione libera di uno stato
qualsiasi.
Mi spiego con un esempio che credo vada ad incontrare le
parole di Valter in un altro post: solo uno studente
ingenuo pu� credere che abbia senso definire l'operatore
impulso per una particella in un intervallo finito con condizioni di
annullamento al bordo per la funzione d'onda, oppure l'operatore posizione
nel caso di
reticolo periodico (es [0,1] con condizioni periodiche ai bordi).
Tutti coloro che masticano un po' di teoria dello stato solido
quantistica conoscono bene queste cose: l'operatore impulso nei reticoli
periodici non ha le stesse proprieta' di quello nella retta infinita e si
parla infatti di "quasi impulso".
Benissimo tutto questo � vero, tuttavia se uno
considera una situazione classica, come un guida
d'onda, si accorge che i modi a pi� alta frequenza
si attenuano prima e restano i modi a frequenze
pi� basse, in qualche modo le condizioni di quantizzazione
vengono raggiunte. Ora ho provato a esprimere questa cosa
in un caso molto semplice. Ho provato a scrivere l'evoluzione
temporale su una circonferenza come se quello che fosse
fisicamente significativo fosse non la circonferenza,
bens� il suo rivestimento R. Allora quello che si scopre
� che se uno non mette a punto una condizione di attenuazione
sui modi pi� rapidi viene fuori una difficolt� enorme:
quella di interpretare un'onda piana in R come un qualche
oggetto nel cerchio unitario.
Quello che viene talvolta raccontato agli studenti � che
solo le onde stazionarie sopravvivono, mentre le onde che
hanno lunghezza d'onda che non � sottomultiplo della
lunghezza della guida si elidono per interferenza
distruttiva.
> Il conto come l'avevi impostato ha un difetto: troverai una soluzione
> che non e' uno scalare di Lorentz.
> Devi mettere come elemento di volume quello invariante: d^3p/p0.
Ho capito che ti riferivi all'impostazione che avevo dato
inizialmente. Poi ho rivisto tutto tranquillamente. Si
tratta di procedere scrivendo la pi� generale soluzione
dell'equazione, allora la condizione di verifica della
K.G. dice che le soluzioni sono tutte e sole del tipo
Int g(k0,kx,ky,kz)e^(ikx) d^4k
con g tale che g(k) delta(k0^2-k^2) allora si distinguon
due parti una in k0 positivi, una in k0 negativi.
A questo punto troviamo che la condizione spaziale
specifica il valore di g+(k) + g-(k) mentre la condizione
sulla derivata specifica il valore di g+(k)-g-(k).
se scelgo a priori g-(k) non riesco ad imporre la seconda
condizione che per� � essenziale nell'imporre la condizione
di causalit�.
D'altra parte ancora mi trovo in difficolt� con i
libri che dicono che il propagatore dipende dal
contorno scelto in C. In questi termini non capisco,
vedi il Mandl ad esempio quando parla di delta+ e
delta-. Sembra, da come dice, che la trasformata di
Fourier, quindi il valore di un integrale, dipenda
dal modo in cui completo ad un cammino di Jordan.
Ci dev'essere qualche passaggio intermedio che non
� specificato.
Che parli del metodo di Laplace?
Aiut...
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> Elio Fabri
> Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sat Dec 20 2003 - 13:28:59 CET