Il 09/09/2020 16:51, Alberto Rasà ha scritto:
> Sia dato un riferimento, non inerziale, con origine nel polo Nord
> geografico terrestre, solidale alla Terra, ovvero che ruota attorno
> all'asse terrestre con la stessa velocità angolare w (che si assume
> esattamente costante). L'asse z è diretto come l'asse geografico
> terrestre, con verso uscente dal polo, e l'asse x diretto (per
> esempio) verso la longitudine 0, cioè il meridiano di Greenwich.
>
>
> Un satellite artificiale ruota attorno a z, a distanza r, dell'ordine
> di grandezza del raggio terrestre, nel piano X-Y, alla velocità
> angolare w della Terra.
>
> Siano dati due orologi, A posto nell'origine degli assi (al polo
> Nord) e B sul satellite, più degli apparati di ricezione e
> trasmissione dei segnali assieme agli orologi.
>
>
> All'istante in cui l'orologio A segna t_0 = 0 riceve un segnale da B
> indicante che esso segna t'_0 = 0. B del resto invia segnali ad A in
> modo continuo, senza interruzioni.
>
>
> Domanda: assumendo che gli orologi abbiano precisione adeguata, ad un
> istante t_1 > 0 (ad esempio t_1 = 1, unità di misura qualunque) il
> segnale da B indica t'_1 minore, uguale o maggiore a t_1?
Usiamo la metrica di Schwarzschild (in unità geometrizzate):
dtau^2 = (1 - 2M/r)dt^2 - dr^2 / (1 - 2M/r)
- r^2(dtheta^2 + sin(theta)^2 dphi^2),
sia A l'orologio al polo Nord, B quello sul
satellite (che deve avere i motori continuamente
accesi, per avere quella linea di universo),
sia R il raggio della Terra, w la velocità angolare
(considero la distanza del satellite dall'asse z
pari al raggio della Terra):
dtau_A^2 = (1 - 2M/R)dt^2
dtau_B^2 = (1 - sqrt(2)M/R)dt^2
- R^2 dphi^2 = (1 - sqrt(2)M/R - w^2 R^2)dt^2
dtau_A > dtau_B <=>
-2M/R > - sqrt(2)M/R - w^2 R^2 <=>
(sqrt(2) - 2) M/R + w^2 R^2 > 0,
sostituendo i valori
M/R = 6.9*10^-10
w^2 R^2 = 2.4*10^-12
risulta che si ha dtau_A < dtau_B cioè l'orologio
sul satellite "va avanti" rispetto a quello al polo
Nord.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)
Received on Wed Sep 09 2020 - 18:53:14 CEST