Re: Equivalenza massa energia.

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: 14 Dec 2003 04:25:24 -0800

Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> wrote in message news:<brfpb4$1pln$2_at_newsreader1.mclink.it>...
> Valter Moretti ha scritto:
> > Non sono d'accordo su questa affermazione in particolare per quanto
> > riguarda l'equazione di KG (per quella di Dirac il discorso e' un po'
> > piu' complesso) se per soluzioni intendi "stati quantistici".
>
> Stavo per darti interamente ragione, facendo ammenda e chiarendo che
> avrei dovuto dire soltanto "frequenza negativa".
> Ma ci ho ripensato ;-)
>
> Se \psi e' un'onda piana monocromatica, e la penso come soluzione di
> un'eq. di Schr. del tipo
>
> i d\psi/dt = H\psi,
>
> con H una hamiltoniana non meglio specificata, si vede che l'onda con
> andamento temporale exp(-ip0 t) corrisponde a un autovalore p0 di H.
> E' a questo che pensavo quando ho scritto "energia negativa".
> Quello che dici dopo e' tutto giusto, ma dimentichi la storia...

(Forse manca qualche "s" nel testo di sotto
  la mia tastiera e' andata..)
  Non ho ben capito la tua riposta.
  Secondo me non ha senso parlare di "hamiltoniani
  generici", bisogna fare le cose per bene altrimenti
  si continuano a prendere fischi per fiaschi ed a
  porsi problemi che non esistono specie per gli studenti.
  Non ho dimenticato la storia di questa faccenda
  anche perche' ne ho "subito" l'effetto sulla mia pelle quando
  studiavo queste cose da studente a fisica e tutto quanto scrivo
  in questi post sull'argomento e' tutto frutto dei miei pensieri
  di studente (incazzato!).
  Parafrasando Hegel me la ricordo la storia
  perche' non voglio ripeterla!
  

>
> A proposito: perche' scrivi
> > (per quella di Dirac il discorso e' un po' piu' complesso
> ?
 Ti rispondo ubito partendo da quanto hai detto sopra.
  Per parlare di hamiltoniani genenrici bisogna comunque
  definire uno spazio di Hilbert e per fare questo
  ci vuole una nozione di prodotto scalare conservato
  durante l'evoluzione temporale della funzione d'onda.
  Gli unici candidati che vengono fuori per
  una nozione di norma dall'equazione
  di KG sono le correnti conservate del teorema di
  Noether. Prendendo un campo di KG carico c'e'
  la correnteassociata a U(1) e ci sono le cariche
  del tensore energia impulso, di cui l'unica sensata
  in questo contesto, perche' isotropa, e' l'energia
  totale. Queste due cariche non sono definite
  positive per cui, se non si vuole scendere a
  considerare un sottospazio dell'insieme generale delle
  soluzioni, non si ha uno spazio di Hilbert e non ha
  senso usare il teorema spettrale per alcun
  "hamiltoniano generico"...
  (si potrebbe usare uno spazio di Krein ma e' noto
  che non si finisce da nessuna parte se non alla solita
  formulazione, l'unica che funziona, anche per quella via).
  Le uniche due vie a priori percorribili
  sono quelle di usare una delle due cariche dette
  restringersi ad un sottospazio in cui sono definite
  positive e prenderne il completamento. Si vede che
  si arriva comunque al solito risultato che e' l'unico
  che funziona: la formulazione standard che si usa
  oggi.
  
  Il caso dell'equazione di Dirac e' piu' complicato,
  perche' una delle due cariche conservate dette sopra
  (quella di U(1)) e' definita positiva mentre l'altra
  (quella dell'energia) e' indefinita.
  La situazione si ribalta quando si passa ai campi
  quantistici in cui le variabili sono di Grassmann
  e anticommutano...(vedi otto).
  In questo contesto si puo' usare la carica
  definita positiva per definire un prodotto
  scalare ed uno spazio di Hilbert iniziale.
  Questo e' quello che si fa quando si analizza
  l'atomo di idrogeno con l'equazione di Dirac.
  Nel caso della teoria libera pero' accade proprio
  che compaiono, in questa formulazione quantistica,
  gli STATI a energia negativa e l'Hamiltoniano della
  teoria non e' definito positivo. A differenza del
  caso di KG, questo e' un discorso *serio* dal punto
  di vista matematico perche' si puo' davvero usare
  la teoria spettrale e l'interpretazione standard
  della MQ, in questa compare l'energia negativa.
  Qui non basta la matematica per mettere a posto le
  cose, ci vuole una piu' fine analisi fisica.
  In questa formulazione si parte riducendosi a
  considerare allora solo il sottospazio dell'Hamiltoniano
  iniziale con energia positiva e si considerano solo
  queste funzioni d'onda come fisicamente sensate per avere una
  teoria stabile.
  Un problema che viene fuori da queta procedura e'
  che la carica elettrica conservata per l'invarianza
  U(1) ha segno fissato invece che doppio, per cui,
  per rendere conto dell'esistenza sperimentale
  delle antiparticelle, si deve introdurre "a mano"
  un altro tipo di particella con carica opposta che
  soddisfa anch'essa l'equazione di Dirac ed ha energia
  positiva.
  (NB. Di fatto l'introduzione di questo nuovo tipo di
  particelle sembra che possa recuperare il sottospazio
  a energia negativa che avevamo buttato via prima.
  Volendo si puo' procedere seriamente con questa
  interpretazione e si capice che in realta' quel sottopazio descriveva
  stati di antiparticella sottoposti *anche* all'inversione
  temporale che genera l'apparente segno sbagliato
  dell'energia: l'energia delle antiparticelle e'
  comunque positiva...)
  Questa procedura, che non e' l'unica possibile a
  differenza del caso di KG, e' pero' l'unica
  compatibile con l'estensione ad una teoria di
  campo pensando gli operatori fermionici come
  anticommutanti.
  La scelta, in seconda quantizzazione,
  degli operatori anticommutanti ha il pregio di
  rimettere automaticamente tutte le cose a posto
  quando ci si riduce, dalla teoria nello spazio di Fock,
  a quella nello spazio (gli spazi) di singola particella:
  l'energia e' sempre positiva,
  la carica ha i due segni e i due tipi di
  particelle vengono fuori automaticamente...
  
 Ciao, Valter


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> Elio Fabri
> Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sun Dec 14 2003 - 13:25:24 CET