Re: Effetti gravità su scala subatomica

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_fastwebnet.it>
Date: Thu, 17 Sep 2020 17:02:47 +0200

Scrivevo ieri:
> Come potete immaginare, la questione m'interessa non poco.
> E mi stupisce un po' che ci debba essere da discutere, almeno sui
> punti che ho visto.
> Tuttavia stasera non posso assolutamente intervenire. Sto scrivendo
> solo per avvisare che - forse - dirò la mia domani.
Eccomi qua. Mi prendo una pausa, anche se so che per scrivere questo
post forse l'intera giornata non mi basterà.

Comincerei da Alberto:
> Ma che quella avesse poco valore lo ha già detto Elio più volte.
Non credo di aver detto proprio questo.
Non ricordo in quante occasioni ne ho parlato, ma mi pare che
l'esposizione più completa del mio punto di vista sia
http://www.sagredo.eu/candela/candel81.pdf
di cui raccomanderei di leggere *con attenzione* la parte finale, da
pag. 9 in poi.
Mi sono permesso di accentuare "con attenzione", perché ho
l'impressione che di questi tempi accada non di rado il contrario: che
si legga di fretta e quindi superficialmente.
Sarà una posizione presuntuosa, ma non posso fare a meno di ripetere
una cosa che ho già detto in altre occasioni: di regola nei miei
scritti *le parole sono pesate*, ognuna ha il suo valore.
Anche se per quell'occasione e per quella rivista forse il mio lavoro
era sprecato, tuttavia sta lì per chiunque voglia rifletterci sopra.

> Guarda che anche onde classiche trasportano quantità di moto
> proporzionale alla frequenza dell'onda.
Affermaziome che significa ben poco.
Quando si parla di proporzionalità bisogna *sempre* chiarire *a parità
di che cosa*.
In questo caso, la q. di moto nell'e.m. classico *non è* prop. alla
frequenza *a parità di campi*. Lo è, come l'energia, a parità di
potenziali.

>> la non esistenza del gravitone è compatibile con il teorema di
>> indeterminazione di Heisenberg?
> Assolutamente si!
Beato te che sei così sicuro :-)
Anche qui, prima bisogna chiarire le condizioni al contorno.
Se intendi che i postulati della m.q. debbano avere validità
universale, la risposta è ovviamente no.
Infatti anche una teoria della gravità si dovrebbe conformare a quei
principi (cosa che non accade per la RG).

Ma passiamo al "microscopio di Heisenberg".
Non sembra male ricordarvi come funziona.

Le caratteristiche della radiazione incidente non c'entrano niente, se
non per il fatto che H. assume, con Einstein, che questa sia composta
da fotoni, quanti: entità (allora piutosto misteriose) di cui pareva
assodato che dovessero avere energia e q. di moto determinate.
Anche la direzione della q. di moto: la "Nadelstrahlung /radiazione
aghiforme) di Einstein era da pensare determinata, anche se
sconosciuta, per il singolo fotone, e vairabile in modo casuale da un
fotone all'altro.

Ciò posto, il ragionamento era questo.
Supponiamo che della radiazione e.m. (di frequenza e dir. di
propagazione ben determinate: in termini classici, un pacchetto molto
esteso rispetto alla l. d'onda) incida su un elettrone, che possiamo
supporre fermo e del quale vogliamo determinare la posizione.

Parte della radiazione (alcuni fotoni) verrà diffusa dall'elettrone in
varie direzioni.
Abbiamo disposto un microscopio col suo asse perp. alla direzione da
cui proviene la radiazione.
Qualche fotone entrerà nel microscopio e il suo sistema ottico lo
focalizzerà sullo schermo (es. una lastra fotografica).
Dall'ottica ondulatoria classica sappiamo che il microscopio ha un
potere risolutivo finito a causa della diffrazione: riferita al piano
oggetto (dove si trova l'elettrone) la risuluzione è data grosso modo
da f*L/d, dove
- f è la focale dell'obiettivo
- L è la l, d'onda
- d è il diametro della pupilla d'entrata.
Ho scritto "grosso modo" perché una formula esatta dipende da come si
definisce la risoluzione: può comparire un qualche fattore numerico,
poco diverso da 1.
Comunque fL/d è l'incertezza con cui conosciamo la posizione
dell'elettrone.

A causa della diffusione (scattering) di un fotone d'impulso p,
l'elettrone riceve un impulso di rinculo dello stesso ordine, ma la
grandezza esatta non è nota, perché non è nota le direzione in cui il
fotone è stto diffuso: si sa solo che è entrato nell'obiettivo.
Perciò l'angolo è incerto di d/f e l'incertezza dell'impulso
dell'elettrone è p*d/f.
Moltiplicando le due incertezze abbiamo
(fL/d)*(pd/f) = L*p.
Ma per i fotoni p = h/L, quindi il prodotto vale h.

Ciò posto, che cosa accadrebbe s nn esistesero i fotoni, ossia se la
radiazione potesse esere trattata in modo rigrosamente classico?
Avremmo un paccheto e.m., che conviene assumere ben grande rispetto a
L, ossia quasi monocromatico e ben collimato.
A parte questo, i dati del pacchetto *non sono rileanti per il resto
del conto*.

L'elettrone produce diffrazione: essendo molto piccolo rispetto a L,
l'onda difratta è sparpagliata in tute le direzioni, e nn importa
esaminare come la sua ampiezza dipende dalla direzione.

Parte dell'onda difratta ragiungeil microscopio e vi entra, essendo
però limitata dalla pupilla d'entrata: è questa che decide che cosa
succede all'onda nel seguito.
Si ha una nuova diffrazione, e sul piano immagine si forma una
distribuzione d'intensità tipica (diffrazione di Fresnel) di cui non
serve dare l'espressione, ma solo l'ordine di grandezza della sua
estensione, che conviene riportare al piano oggetto (semplice trasf.
geometrica).
Anzi, non ce n'è bisogno perché l'ho già scritta: f*L/d.
Questa è la risoluzione, ossia l'incertezza nella posizione
dell'elettrone.

E quanto all'impulso?
Semplice: per pure ragioni di simmetria, non ci sarà impulso
trasferito all'elettrone in direzione ortogonale a quella di
propagazione, e quello longitudinale sarà prop. all'intensità
dell'onda.
Nella teoria classica questa intensità si può ridurre quanto si vuole,
quindi lo stesso accade all'impulso trasferito.

Mi si obietterà che in realtà l'onda non può avere vettore di
propgzione perfettamente determinato (piana monocromatica) quindi avrà
un'indet. intrinseca, che si riproduce nell'impulso trasferito
all'elettrone.
Vero, ma ci sono diverse contro-obiezioni:
- Come ho già detto, la *grandezza* dell'impulso trasferito si può
rendere piccola a piacere.
- La stessa cosa accade per la direzione.
- Comunque non c'è alcuna relazione coi parametri del microscopio, che
invece entrano nell'incertezza della posizione (mentre nel calcolo di
H. si cancellano, tranne d).

Un'altra obiezione non la dico per non farla troppo lunga: aspetto se
qualcuno la vede :-)

Conclusione: a mio parere Corrado Massa ha ragione: se non esistessero
quanti di gravitazione, una misura usando le onde grav. potrebbe violare
le rel. di Heisenberg.
     

-- 
Elio Fabri
Received on Thu Sep 17 2020 - 17:02:47 CEST

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