nasty ha scritto:
> qualcuno mi pu� spiegare perch� quando ho due elettroni equivalenti in
> una configurazione del tipo np^2, con entrambi l=1, non posso scrivere
> il termine spettroscopico 1P? so che questo � dovuto al fatto che,
> essendo la parte di spin antisimmetrica, con S=0, la parte spaziale
> deve essere simmetrica, ma non riesco a collegare questo fatto alla
> necessit� che L sia uguale solamente a 0, o a 2, e non a 1.
Enrico SMARGIASSI ha scritto:
> Be', la parita' di una funzione d'onda di momento angolare l e'
> (-1)^l, quindi funzioni con l pari sono simmetriche per inversione
> mentre quelle con l dispari sono antisimmetriche. E' semplicemente una
> proprieta' delle armoniche sferiche.
Di regola mi prendo un po' di tempo prima d'intervenire, perche' mi
aspetto che qualcun altro dia la risposta al posto mio.
Pero' ora mi tocca dire la mia, perche' non vorrei che l'OP prendesse
un brutto voto :-)
Infatti quello che dice Enrico non e' giusto.
La parita' di una funzione d'onda e' (-1)^l solo per funzioni
monoelettroniche.
Per due elettroni la parita' e' (-1)^(l1+l2) che puo' essere opposta,
come appunto accade nel caso di cui stiamo parlando: l1=l2=1, l=1.
La dimostrazione e' facile: la f. d'onda del sistema di due elettroni
sara' in generale una combin. lineare di *prodotti* di armoniche
sferiche relative ai due elettroni:
\sum c_{m1,m2} Y_l1^m1(theta1, phi1) Y_l2^m2(theta2, phi2)
dove l1, l2 sono fissi, la somma e' estesa ai valori m1, m2 tali che
m1+m2=m se vogliamo uno stato con l,m asseganti, e i coeff. c_{m1,m2}
(che dipendono anche da l1, l2, l, m) sono i famigerati "coeff. di
Clebsch-Gordan". (Ovviamente ho tralasciato le parti radiali, che non
hanno alcun ruolo nel problema.)
L'inversione spaziale trasforma *insieme* tutte le coord. theta1,
phi1, theta2, phi2; le due armoniche sferiche cambiano risp. per un
fattore (-1)^l1 e (-1)^l2, quindi il prodotto va come (-1)^(l1+l2)
c.v.d.
Conclusione: *tutte* le f. d'onda costruite a partire da np^2 hanno la
stessa parita' (sono pari) e quindi non si puo' usare la parita' per
rispondere alla domanda.
La cosa si capisce se invece di lavorare con le armoniche sferiche si
usano le componenti cartesiane.
Indico con x-1, x_2, x_3 le coord. del primno elettrone, con y_1, y_2,
y_3 quelle del secondo; con r, s le distanze dall'origine.
Allora la generica funzione np sara' del tipo f(r)*x_i per il primo
elettrone, f(s)*y_j per il secondo.
(Le consuete armoniche sferiche, a meno di fattori di normalizzazione,
non sono altro che (x_1+ix_2)/r, x_3/r, (x_1-ix_2)/r.)
Per due elettroni avro' quindi
f(r)*f(s)*x_i*y_j
che sono 9, e formano una base per l'insieme degli stati np^2.
Per ottenere da queste gli stati di om. angolare totale definito,
occorre costruire:
a) Uno scalare per l=0, e questo sara' x_i*y_i (tralascio i termini
radiali). Questa e' simmetrica per lo *scambio* dei due elettroni.
b) Un vettore per l=1, e questo sara' e_{ijk}*x_i*y_j, dove e_{ijk} e'
il solito simbolo di Ricci-LeviCivita. Questa e' antisimmetrica per
scambio.
c) Un tensore simmetrico a traccia nulla:
x_i*y_j + x_j*y_i - (2/3)*x_k*y_k*delta_{ij}
e questa e' di nuovo simmetrica.
La cosa si puo' generalizzare: partendo da l1, l2, le autof. del mom.
ang. totale con l che ha la stessa parita' di l1+l2 sono simmetriche
per scambio, quelle che hanno parita' opposta sono antisimmetriche.
--
Elio Fabri
Perche' tu devi pur sapere, aggiunse, mio ottimo Critone, che parlare
scorrettamente non solo e' cosa brutta per se medesima, ma anche fa
male all'anima.
Received on Fri Apr 15 2011 - 21:24:36 CEST